Codeforces 题目 B1 Sub-RBS 初级版解题报告 | AI生成和翻译
Question: How to solve the Codeforces problem “B1. Sub-RBS (Easy Version)”?
Answer:
这道题目要求在给定的 regular bracket sequence (RBS) s 中，找出一个其它的 longest regular bracket subsequence t，使得根据自定义定义，t 的 lexicographically better 比 s 更好。
让我们逐步分解。
1. 理解 “better than”
一个 bracket sequence t 比 s better，如果：
s是t的前缀且t ≠ s，或者- 在第一个不同的位置上，
t[i] = '('且s[i] = ')'。
由于 t 是 s 的 subsequence，第一种情况是不可能的（subsequence 长度不可能更长且同时保持 s 为其前缀）。
所以只有 第二条规则有效：
在第一个不同的位置，
t必须是'('而s是')'。
2. 关键观察
为了比 s 更好，subsequence t 必须：
- 与
s的某个前缀匹配， - 然后 跳过
s中的一个')'，转而使用后面出现的一个'('。
这意味着：
👉 必须存在一个位置，使得 s[i] = ')'，但在字符串后面的部分存在一个未使用的 '(' 供我们选择。
3. 策略
我们希望得到 maximum length 的有效 subsequence t。
为了实现这一点：
- 移除
s的一个以')'结尾的前缀。 - 从剩余的后缀中，获取 longest possible regular bracket subsequence。
最优选择是：
- 移除 最短的以
')'结尾的前缀，使得剩余的后缀仍然包含一个 regular bracket sequence。
为什么？
- 移除的部分越短 → 剩余的 subsequence 越长。
- 立即跳过一个
')'可以保证t比s更好。
4. 什么时候不可能？
如果 每一个以 ')' 结尾的前缀都会导致剩余后缀无效，那么：
- 没有 subsequence 能比
s更好。 - 输出
-1。
这发生在 s 已经是 lexicographically minimal 的情况下，例如：
()(())()
5. 实际解题方法
对于每个 test case：
- 从左到右遍历字符串。
- 追踪 brackets 的 balance。
-
找到 第一个位置
i使得s[i] = ')'且满足：- 后缀
s[i+1 ... n]包含至少一个有效的 RBS。
- 后缀
-
计算该后缀中 longest RBS subsequence 的长度：
- 长度等于
2 × min(number of '(' , number of ')')。
- 长度等于
- 输出该长度。
- 如果不存在这样的位置 → 输出
-1。
6. 示例演示
示例 1
s = ()
- 唯一的有效 subsequence 是它本身。
- 无法变得更好。
✅ 输出：
-1
示例 2
s = (()(()))
- 跳过位置 3 的
')'。 - 剩余字符串可以组成
((()))。 - Length = 6。
✅ 输出：
6
示例 3
s = (())()
- 任何跳过的
')'都会破坏后缀的有效性。 - 没有更好的 subsequence。
✅ 输出：
-1
7. Time complexity
- 每个 test case 在 O(n) 时间内处理。
- 所有 test cases 的总复杂度为 O(Σn) ≤ 2 × 10⁵。
- 在限制条件下完全可以接受。
8. 总结
✔ 你不需要显式地构建 subsequence。
✔ 你是在寻找跳过一个关键的 ')' 后 最佳的可能后缀。
✔ 如果存在这样的后缀 → 计算其最大的 RBS 长度。
✔ 否则 → 输出 -1。
这种 greedy 观察是高效解决该问题的核心思路。