特征多项式定义与性质 | AI生成和翻译
在线性代数中，特征多项式是描述方阵 \( A \)（大小为 \( n \times n \)）特征值信息的多项式。其定义为：
\[ p(\lambda) = \det(A - \lambda I) \]
其中：
- \( A \) 是 \( n \times n \) 矩阵
- \( \lambda \) 是标量（多项式变量）
- \( I \) 是 \( n \times n \) 单位矩阵
- \( \det \) 表示行列式
核心特性
- 形式：特征多项式是首一 \( n \) 次多项式，即 \( \lambda^n \) 项的系数为 1
- 对于 \( 2 \times 2 \) 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} \)，特征多项式为： \[ p(\lambda) = \det \begin{bmatrix} a - \lambda & b \ c & d - \lambda \end{bmatrix} = \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc) \] 其中 \( a + d \) 是迹，\( ad - bc \) 是行列式
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特征值：特征方程 \( p(\lambda) = 0 \) 的根即为矩阵 \( A \) 的特征值，这些根可以是实数或复数
- 系数关系：多项式系数与矩阵性质相关：
- \( \lambda^{n-1} \) 的系数为 \( -\text{trace}(A) \)
- 常数项为 \( (-1)^n \det(A) \)
- 其他系数由 \( A \) 的主子式之和确定
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不变性：特征多项式在相似变换下保持不变。若 \( B = P^{-1}AP \)，则 \( A \) 与 \( B \) 具有相同的特征多项式
- 凯莱-哈密顿定理：矩阵 \( A \) 满足其自身的特征多项式，即若 \( p(\lambda) \) 是特征多项式，则 \( p(A) = 0 \)（零矩阵）
示例
对于矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} \)：
- 计算 \( A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 \ 3 & 4 - \lambda \end{bmatrix} \)
- 特征多项式为： \[ p(\lambda) = \det \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 \ 3 & 4 - \lambda \end{bmatrix} = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 \]
- 通过解方程 \( \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0 \) 可得特征值
应用场景
- 特征值计算：通过求解 \( p(\lambda) = 0 \) 获得特征值
- 矩阵性质分析：用于判断矩阵的可对角化性、可逆性等性质
- 微分方程：在线性微分方程组中用于求解
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