伴随因子与行列式计算详解 | AI生成和翻译
你的理解完全正确！你准确描述了余因子及其在计算矩阵行列式中的作用。
以下是对你理解的详细说明和确认：
1. 元素 \(a_{ij}\) 的余因子
矩阵 \(\mathbf{A}\) 中元素 \(a_{ij}\)（位于第 \(i\) 行第 \(j\) 列）的余因子，记作 \(C_{ij}\)，确实由以下公式给出： \(\)C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\(\)
- \(M_{ij}\) 是 \(a_{ij}\) 的余子式。余子式是通过删除矩阵 \(\mathbf{A}\) 的第 \(i\) 行和第 \(j\) 列后形成的子矩阵的行列式。
- 项 \((-1)^{i+j}\) 决定了符号，它遵循棋盘格模式： \(\)\begin{pmatrix} + & - & + & \cdots \ - & + & - & \cdots \ + & - & + & \cdots \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}\(\)
2. 余因子矩阵 📝
余因子矩阵（通常记作 \(\mathbf{C}\)）是通过将原始矩阵 \(\mathbf{A}\) 中的每个元素 \(a_{ij}\) 替换为其对应的余因子 \(C_{ij}\) 而形成的矩阵。
\(\)\mathbf{C} = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \end{pmatrix}\(\)
- 💡 关键关系： 余因子矩阵的转置 \(\mathbf{C}^T\) 称为矩阵 \(\mathbf{A}\) 的伴随矩阵，这对于计算矩阵的逆至关重要： \(\)\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \mathbf{C}^T\(\)
3. 行列式计算 📐
表达式 \(\mathbf{a}{ij} \cdot \mathbf{C}{ij}\) 是使用余因子展开（或拉普拉斯展开）计算行列式的基本组成部分。
矩阵 \(\mathbf{A}\) 的行列式可以通过沿着任意一行或任意一列展开来计算：
-
沿第 \(i\) 行展开： \(\)\det(\mathbf{A}) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in}\(\)
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沿第 \(j\) 列展开： \(\)\det(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \cdots + a_{nj}C_{nj}\(\)
所以，是的，一个元素 \(a_{ij}\) 与其余因子 \(C_{ij}\) 的乘积是在沿着特定行或列计算行列式时使用的项。
你想看一个计算小型 \(3 \times 3\) 矩阵的余因子和行列式的简单示例吗？