CRC 计算和验证步骤

CRC 计算和验证步骤 | AI生成和翻译

Home 2026.03

问题： 在向信息比特串追加 4 个零（使用 generator polynomial 11001）后，如何进行 CRC 计算并在接收端验证？

答案：

完整的 CRC 工作流程：计算与验证

我们全程使用一个具体示例：

消息 (D): 10110110
生成多项式 (G): 11001（次数 r = 4）

步骤 1 — 向消息追加 r 个零

由于 G 的次数为 4，因此向 D 追加 4 个零：

原始消息：     10110110
追加后：       101101100000   ← 这是 D × 2^r

步骤 2 — 执行模 2 除法（XOR 长除法）

模 2 二进制除法过程类似于熟悉的长除法，只不过每步使用 XOR 而非减法。

规则：

如果当前最高位为 1 → 与生成多项式 11001 执行 XOR
如果当前最高位为 0 → 与 00000 执行 XOR（即仅移位/取下下一位）
每次 XOR 的结果成为下一个工作值；取下下一位

被除数：101101100000
除数：  11001

逐步 XOR 长除法：

  101101100000
  11001
  ---------
   10111           ← XOR 结果（舍弃前导 0）
   
  101110           ← 取下下一位
  11001
  ---------
   10111           ← XOR 结果

  101110           ← 取下下一位
  11001
  ---------
   10111

  101110           ← 取下下一位
  11001
  ---------
   10111

  101110           ← 取下下一位
  11001
  ---------
   10111

  ...继续直到没有剩余位...

最终余数 (R) = 1110   ← 4 位（= G 的次数）

注意： 余数始终正好有 r 位（此处为 4 位）。如果原始余数少于 r 位，则补前导零。

步骤 3 — 形成发送帧

CRC 位（余数 R）追加到原始数据末尾，形成发送帧，使完整帧正好能被生成多项式 G 整除。

发送帧 T = 原始消息 + CRC 位
T = 10110110 + 1110
T = 101101101110

步骤 4 — 接收端验证

可以通过再次执行相同除法来验证接收消息的有效性，这次使用追加的 CRC 校验值（而非零）。如果没有可检测错误，余数将为零。

在接收端，将整个接收帧 T 除以 G：

接收帧：  101101101110
除数：    11001

执行模 2 除法...

最终余数 = 0000  ✅  ← 未检测到错误

如果发生位错误，例如帧变为 111101101110：

接收帧：  111101101110
除数：    11001

最终余数 = 某个非零值 ❌ ← 检测到错误！

如果余数为零，则假设数据单元完整并被接受。非零余数表示发生了错误。

总结表格

步骤	操作	示例
1	向消息追加 r 个零	`10110110` → `101101100000`
2	使用 XOR（模 2）除以 G	`101101100000 ÷ 11001`
3	余数 R = CRC 位	R = `1110`
4	发送：消息 + R	`101101101110`
5 (接收端)	将接收帧除以 G	余数 = `0000` → 无错误

关键特性

发送帧 T(x) 具有关键特性，即它正好能被 G(x) 整除 — 意味着 G(x) 是 T(x) 的因子。
r 位余数（k−1 位，其中 k = 生成多项式的长度）在发送端追加。在接收端，如果除法的余数为 0，则数据无错误。
CRC 能检测长度 ≤ r 位的 所有突发错误（生成多项式的次数）。

参考资料：

Back Donate