行列式：基于线性与交错性的展开方法 | AI生成和翻译
当你了解到行列式是一个满足以下条件的函数时：
- 在行（或列）上具有多重线性，且
- 具有交错性（交换两行会改变其符号），
余子式展开公式便自然浮现。以下是对 3×3 情况的逐步解释：
1. 基于排列的行列式定义
3×3 行列式最通用的定义是：
\[\det A \;=\; \sum_{\sigma\in S_3}\!\mathrm{sgn}(\sigma)\,a_{1,\sigma(1)}\,a_{2,\sigma(2)}\,a_{3,\sigma(3)},\]其中对 {1,2,3} 的所有六种排列 σ 求和，sgn(σ) 对于偶排列为 +1，对于奇排列为 –1。
若将其展开，恰好得到六项：
\[a_{11}a_{22}a_{33},\;a_{12}a_{23}a_{31},\;a_{13}a_{21}a_{32} \;-\; \bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).\]2. 按某一行或某一列分组
注意，可以按照这些项使用第一行的哪个元素来分组：
-
包含 $a_{11}$ 的项：
\[a_{11}\,(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) = a_{11}\det\!\begin{pmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}.\] -
包含 $a_{12}$ 的项：
\[a_{12}\,(a_{23}a_{31} - a_{21}a_{33}) = -\,a_{12}\det\!\begin{pmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{pmatrix}.\] -
包含 $a_{13}$ 的项：
\[a_{13}\,(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) = \;a_{13}\det\!\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{pmatrix}.\]
这正是沿第一行的余子式展开：
\[\det A = a_{11}C_{11} \;+\; a_{12}C_{12} \;+\; a_{13}C_{13},\]其中每个余子式 $C_{1j} = (-1)^{1+j}\det(\text{minor}_{1j})$。
3. 为何有“子式”与“符号”？
- 子式：$\det(\text{minor}_{ij})$ 是通过删除第 i 行和第 j 列得到的 2×2 子矩阵的行列式。
- 符号因子 $(−1)^{i+j}$：确保如果交换 $A$ 的两行，整体符号会翻转——正如排列定义所要求的那样。
由于行列式必须在每一行上都是线性的，你可以从一行中“提取”一个元素，留下该元素乘以较小矩阵的行列式。交错性迫使了这些 $(−1)$ 符号的出现。
4. 几何直观
对于一个行向量为 $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^3$ 的 3×3 矩阵，$\det A$ 是它们所张成的平行六面体的有向体积。
- 沿第一行展开时，你将该体积分解为垂直于每个坐标轴的“薄片”。
- 每个薄片的面积是其他两个行向量张成的平行四边形面积（一个 2×2 行列式），并用 $\mathbf{u}$ 的相应坐标 $u_j$ 进行缩放。
- 符号 $(−1)^{1+j}$ 用于跟踪方向。
5. 推广到 $n\times n$ 情况
所有这些对于任意大小 $n$ 都同样适用：排列定义有 $n!$ 项，你按某一行或某一列对它们进行分组，每一组简化为：
\[a_{ij}\,(-1)^{i+j}\det(\text{minor}_{ij}).\]这就是余子式展开原理。
简而言之：
余子式展开就是行列式的排列求和定义，按某一行（或列）重新组织，并结合了线性性和符号交错的要求。它提供了一种递归计算行列式的方法，并给出了清晰的行列式几何图像。