行列式 | AI生成和翻译
明白了！以下是仅包含显示数学公式（块状方程）的教程。
章节：行列式
1. 行列式的定义
行列式是一个可以从方阵的元素计算得到的标量值。它提供了关于矩阵的关键信息，例如可逆性、体积缩放比例以及线性方程组的解。
对于 \( n \times n \) 矩阵 \( A \)，其行列式记作：
\[ \det(A) \quad \text{或} \quad |A| \]
2. 行列式的计算
2.1 2×2 矩阵的行列式
对于 \( 2 \times 2 \) 矩阵：
\[ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} \]
其行列式由下式给出：
\[ \det(A) = ad - bc \]
2.2 3×3 矩阵的行列式
对于 \( 3 \times 3 \) 矩阵：
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \]
可以通过沿第一行的余子式展开来计算行列式：
\[ \det(A) = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}
- a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}
- a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \]
其中每个 \( 2 \times 2 \) 行列式均按前述方法计算。
2.3 高阶矩阵的行列式
对于 \( n \times n \) 矩阵，行列式可以通过以下方法计算：
- 余子式展开法（沿任意行或列的拉普拉斯展开）
- 行化简法（转换为上三角矩阵并乘上对角线元素）
- 莱布尼茨公式（对所有排列求和，仅适用于较小的 \( n \)）
3. 行列式的性质
\[ \det(I_n) = 1 \]
\[ \det(B) = -\det(A) \quad \text{若矩阵 } B \text{ 是通过交换 } A \text{ 的两行得到的。} \]
\[ \det(A) = 0 \quad \text{若某一行（或列）全为零。} \]
\[ \det(kA) = k^n \det(A) \]
\[ \det(A) = \text{对角线元素的乘积} \quad \text{若 } A \text{ 是三角矩阵。} \]
\[ \det(AB) = \det(A) \det(B) \]
\[ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \quad \text{若 } A \text{ 可逆。} \]
\[ \det(A^T) = \det(A) \]
4. 行列式的应用
4.1 检查可逆性
一个方阵 \( A \) 可逆当且仅当
\[ \det(A) \neq 0 \]
4.2 克拉默法则（求解线性方程组）
对于线性方程组 \( Ax = b \)，其中 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 可逆矩阵，每个变量 \( x_i \) 的解为：
\[ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \]
其中 \( A_i \) 是将 \( A \) 的第 \( i \) 列替换为 \( b \) 后得到的矩阵。
4.3 体积解释
一个 \( n \times n \) 矩阵的行列式的绝对值表示变换后的单位超立方体的体积：
\[ \text{体积} = |\det(A)| \]
4.4 特征值与特征方程
行列式用于通过特征方程求解特征值：
\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]
本教程提供了关于行列式的基础知识，包括其计算、性质及应用。如果您需要进一步的解释或示例，请随时告知！