特征值与特征向量求解指南 | AI生成和翻译
特征值
要求矩阵 A 的特征值，需要求解特征方程：
det(A - λI) = 0
其中 λ 表示特征值，I 是单位矩阵。
步骤：
- 将 A 的对角线元素减去 λ，得到 (A - λI)
- 计算 (A - λI) 的行列式
- 令行列式等于零
- 求解得到的多项式方程，解出 λ
特征向量
求得特征值 λ 后，通过求解以下方程得到对应的特征向量：
(A - λI)v = 0
其中 v 是特征向量（非零向量）。
步骤：
- 将特征值 λ 代入 (A - λI)
- 求解齐次线性方程组
- 找出所有满足方程的非零向量
- 解空间构成该特征值对应的特征空间
示例
对于 2×2 矩阵 A = [[3, 1], [1, 3]]：
求特征值：
- A - λI = [[3-λ, 1], [1, 3-λ]]
- det(A - λI) = (3-λ)² - 1 = λ² - 6λ + 8 = 0
- 解得：λ = 4 和 λ = 2
求 λ = 4 的特征向量：
- (A - 4I)v = 0 得到 [[−1, 1], [1, −1]]v = 0
- 解得 v = [[1], [1]]（或任意标量倍数）
求 λ = 2 的特征向量：
- (A - 2I)v = 0 得到 [[1, 1], [1, 1]]v = 0
- 解得 v = [[1], [−1]]
对于数值计算或更大规模的矩阵，可以使用 Python（NumPy）、MATLAB 或其他线性代数工具自动计算这些值。