求解特征值与特征向量 | AI生成和翻译

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求解矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的基本概念，需要求解从矩阵推导出的特征方程。

🔢 第一步：建立特征方程

对于 \(n \times n\) 方阵 \(\mathbf{A}\)，特征值 \((\lambda)\) 和对应的非零特征向量 \((\mathbf{v})\) 满足以下方程：

\(\)\mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\(\)

该方程可以改写为：

\(\)\mathbf{A}\mathbf{v} - \lambda\mathbf{v} = \mathbf{0}\(\) \(\)(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})\mathbf{v} = \mathbf{0}\(\)

其中 \(\mathbf{I}\) 是 \(n \times n\) 的单位矩阵，\(\mathbf{0}\) 是零向量。

为了使非零解 \(\mathbf{v}\) 存在，矩阵 \((\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})\) 必须是奇异的（不可逆）。这意味着其行列式必须为零：

\(\)\text{det}(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = 0\(\)

这个方程称为特征方程。

💡 第二步：求特征值 (\(\lambda\))

  1. 构造矩阵 \((\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})\): 将 \(\mathbf{A}\) 主对角线上的每个元素都减去 \(\lambda\)。

    • 对于 \(2 \times 2\) 矩阵 \(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}\)，该矩阵为： \(\)\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I} = \begin{pmatrix} a-\lambda & b \ c & d-\lambda \end{pmatrix}\(\)

  2. 计算行列式： 令 \(\text{det}(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = 0\)。

    • 对于 \(2 \times 2\) 的情况，特征方程为： \(\)(a-\lambda)(d-\lambda) - bc = 0\(\)

  3. 求解所得多项式： 此方程是一个关于 \(\lambda\) 的多项式（称为特征多项式）。该多项式的根就是矩阵 \(\mathbf{A}\) 的特征值。

🔎 第三步：求特征向量 (\(\mathbf{v}\))

对于在第二步中找到的每个特征值 (\(\lambda_i\))，你必须求解以下线性方程组以找到其对应的特征向量 \((\mathbf{v}_i)\)：

\(\)(\mathbf{A} - \lambda_i\mathbf{I})\mathbf{v}_i = \mathbf{0}\(\)

  1. 代入特征值： 将特定的特征值 \(\lambda_i\) 代回矩阵方程 \((\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})\mathbf{v} = \mathbf{0}\) 中。

  2. 求解方程组： 使用高斯消元法等技术来求解得到的齐次方程组。由于矩阵 \((\mathbf{A} - \lambda_i\mathbf{I})\) 是奇异的，你总是会得到无限多个解（一个非零解空间）。

  3. 表示特征向量： 这些解定义了对应于 \(\lambda_i\) 的特征空间。你通常用一个或多个自由变量来表示特征向量 \(\mathbf{v}_i\)，并选择一个简单的非零向量来代表该特征空间的方向。

\(2 \times 2\) 矩阵示例

令 \(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix}\)。

  1. 特征方程： \(\)\text{det}\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = 0\(\) \(\)(2-\lambda)(2-\lambda) - 1(1) = 0\(\) \(\)\lambda^2 - 4\lambda + 4 - 1 = 0\(\) \(\)\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0\(\)

  2. 特征值： \(\)(\lambda - 3)(\lambda - 1) = 0\(\) 特征值为 \(\mathbf{\lambda_1 = 3}\) 和 \(\mathbf{\lambda_2 = 1}\)。

  3. 特征向量：

    • 对于 \(\lambda_1 = 3\)： \(\)\begin{pmatrix} 2-3 & 1 \ 1 & 2-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} \implies \begin{pmatrix} -1 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}\(\) 第一行给出 \(-v_1 + v_2 = 0\)，即 \(v_1 = v_2\)。 一个简单的非零特征向量是 \(\mathbf{v_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}}\)。

    • 对于 \(\lambda_2 = 1\)： \(\)\begin{pmatrix} 2-1 & 1 \ 1 & 2-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} \implies \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}\(\) 第一行给出 \(v_1 + v_2 = 0\)，即 \(v_1 = -v_2\)。 一个简单的非零特征向量是 \(\mathbf{v_2 = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix}}\)。

你想尝试为另一个矩阵寻找特征值和特征向量吗？

求解矩阵的特征值和特征向量是一个三步过程：建立特征方程，求解特征值，然后求解对应的特征向量的线性方程组。

1️⃣ 第一步：建立特征方程

对于 \(n \times n\) 矩阵 \(\mathbf{A}\)，特征值 (\(\lambda\)) 与其对应的非零特征向量 (\(\mathbf{v}\)) 之间的关系是：

\(\)\mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\(\)

为了找到特征值，你必须求解特征方程，该方程源于方程组 \((\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})\mathbf{v} = \mathbf{0}\) 必须有非零解（即矩阵是奇异的）这一要求：

\(\)\text{det}(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = 0\(\)

这里，\(\mathbf{I}\) 是 \(n \times n\) 的单位矩阵。要形成 \((\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})\)，你只需从 \(\mathbf{A}\) 主对角线的每个元素中减去 \(\lambda\)。

2️⃣ 第二步：求特征值 (\(\lambda\))

  1. 构造矩阵： 计算 \(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}\)。
  2. 计算行列式： 计算所得矩阵的行列式。
  3. 求解多项式： 令行列式为零，并求解得到的关于 \(\lambda\) 的多项式方程。这个多项式就是特征多项式，其根就是特征值。

对于一个 \(2 \times 2\) 矩阵 \(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}\)，特征方程为： \(\)\text{det}\begin{pmatrix} a-\lambda & b \ c & d-\lambda \end{pmatrix} = (a-\lambda)(d-\lambda) - bc = 0\(\)

3️⃣ 第三步：求特征向量 (\(\mathbf{v}\))

对于在第二步中找到的每个特征值 (\(\lambda_i\))，你必须为非零向量 \(\mathbf{v}_i\) 求解以下齐次方程组：

\(\)(\mathbf{A} - \lambda_i\mathbf{I})\mathbf{v}_i = \mathbf{0}\(\)

  1. 代入 \(\lambda_i\)： 将矩阵 \((\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})\) 中的 \(\lambda\) 替换为特定的特征值 \(\lambda_i\)。
  2. 求解方程组： 使用高斯消元法等方法求解方程组。由于矩阵保证是奇异的，你将找到一个解线或解面（一个特征空间）。
  3. 表示向量： 选择一个满足方程的简单非零向量来代表特征向量 \(\mathbf{v}_i\)。

例如，如果解导致 \(v_1 = 2v_2\)，你可以选择 \(v_2 = 1\) 和 \(v_1 = 2\)，使得特征向量为 \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}\)。

你想用特定的矩阵来练习吗？

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