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Pierre de Fermat (1601–1665)

概述

Pierre de Fermat 是法国数学家，被广泛认为是17世纪最伟大的数学家之一。尽管他职业是律师，将数学纯粹视为业余爱好，但他对广泛的数学主题做出了高度重要的贡献——他是微积分发明的引导者之一，独立共同发明了解析几何，与 Blaise Pascal 合作帮助发明了概率论，并在数论方面做出了杰出的贡献。

早年生活与教育

Fermat 于1601年8月17日出生于法国 Beaumont-de-Lomagne。他的父亲 Dominique Fermat 是一位富裕的皮革商人，并担任该镇四位领事之一。他的母亲是 Claire de Long。Pierre 有一位兄弟和两位姐妹。

他在 Beaumont-de-Lomagne 的方济各会修道院 Grandsèlve 接受小学和中学教育。为了深造，他首先就读于 University of Toulouse，然后在1620年代后半期转至 Bordeaux。在 Bordeaux（1629年），Fermat 开始了他的首次严肃数学研究。

他于1623年进入 University of Orléans 学习，并于1626年获得民法学士学位。后来他成为 Toulouse 议会的法官和议员，这是一个社会地位高的职位，还授予他贵族头衔“de Fermat”。

Fermat 精通六种语言——法语、拉丁语、奥克语、古希腊语、意大利语和西班牙语——并因其在多种语言中撰写的诗歌而受到赞誉。

数学作为业余爱好

Fermat 是一位一生大部分时间生活在法国 Toulouse 的律师。他从未出版过任何作品，也很少提供他众多猜想的证明证据。然而，他通过书信与许多其他数学家频繁联系，这就是我们有他对该领域贡献记录的原因。

Fermat 喜欢产生他的结果，但不愿做出版所需的清理工作。为了避免争议，当他人出版他的结果时，Fermat 不允许将他的名字放在上面。

主要数学贡献

1. 数论

这是 Fermat 的皇冠上的明珠。Pierre de Fermat 常被称为现代数论的创始人。

他在数论方面的关键结果包括：

Fermat’s Last Theorem：他最著名的断言，写在 Diophantus 的 Arithmetica 一书的页边空白处，声称方程 $x^n + y^n = z^n$ 对于 $n > 2$ 没有正整数解。这一断言的真实性由 Princeton University 的英国数学家 Andrew Wiles 证明，他的证明最终于1994年11月被接受——比 Fermat 的原始断言晚了300多年。
Fermat’s Little Theorem：断言如果 $p$ 是素数且 $a$ 是任何不被 $p$ 整除的整数，则 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$。这一定理的严格证明最早由 Leonhard Euler 于1736年完成。
Fermat Numbers：定义为 $F_n = 2^{2^n} + 1$。已知仅有前5个 Fermat numbers 是素数。
Fermat’s Factorization Method：一种基于将复合数表示为两个平方差的因式分解技术。
他还研究了完美数、Pell’s equation，以及他称为“友好整数”（amicable numbers）的数。

2. 解析几何

Fermat 独立于 Descartes，发现了解析几何的基本原理——代数方程可以表示为几何曲线的想法。在解析几何中，Descartes 出版先行，但 Fermat 做出了到三维的绝对必要过渡，并修正了 Descartes 对方程次数的表述。

3. 微积分的前驱

他寻找曲线切线及其最大最小点的方法，使他被视为微分微积分的发明者。Isaac Newton 本人承认了这一贡献：Newton 写道，他自己关于微积分的早期想法直接来自于“Fermat 绘制切线的方法”。

Fermat 使用了他称为 adequality（adaequare）的技术——一种将表达式近似等于自身以求极值的形式，这在概念上接近于取导数。

4. 概率论

在与 Blaise Pascal 的长期通信过程中，Fermat 对概率论做出了重大贡献。他们共同发展了计算机会游戏赔率的奠基框架，为现代概率论和统计学奠定了基础。

5. 光学 — Fermat’s Principle

他做出了开创性贡献，包括光学中的最小时间原理，这后来影响了量子理论。Fermat’s Principle 断言光在两点之间沿花费最少时间的路径传播——这一原理优雅地解释了反射和折射，Fermat 用它来挑战并修正 Descartes 对折射定律的错误推导。

与 Descartes 的竞争

Fermat 与 René Descartes 的关系充满争议。唯一实质问题是 Descartes 不赞成基于反事实假设的数学推理，即 adequality 的概念。尽管两人在1638年夏正式和解，当时 Descartes 承认批评 Fermat 方法是他的错误，但争执的苦涩毒害了当时两位最伟大数学家之间任何合作的机会。Descartes 的尖刻言辞给 Fermat 的数学家声誉蒙上了阴影，而 Fermat 拒绝出版只会让情况更糟。

遗产

300年间证明 Fermat’s Last Theorem 的失败尝试导致了交换环论和其他大量数学发现的出现。该定理成为数学中最著名的未解决问题之一，激励了几代数学家。

尽管有开创性的发现，Fermat 常常扣留他的发现不出版，导致他人如 Descartes 和 Newton 获得他预见想法的功劳。

如今，Fermat 的名字通过 Fermat’s Last Theorem、Fermat’s Little Theorem、Fermat numbers、Fermat primes、光学中的 Fermat’s Principle，以及 Fermat’s factorization method 而流传——对于一个视数学仅为个人消遣的人来说，这是非凡的遗产。

总结表格

领域	贡献
Number Theory	Last Theorem, Little Theorem, Fermat Numbers
Analytic Geometry	Independent co-inventor
Calculus	Method of maxima/minima, tangents
Probability	Co-founder with Pascal
Optics	Fermat’s Principle (least time)

参考文献：

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