GPS定位原理解析 | AI生成和翻译
今天的第二个科普任务：讲解GPS定位系统原理的视频
推荐大家看这个讲解GPS定位系统原理的视频。不过里面有个图有点小问题，我顺手改了一下。
原理其实很简单，只需要基本的立体几何知识就能理解。用一句话概括就是：“四个球面相交于一点”。下面我具体讲讲是怎么回事：
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GPS卫星（或地面基站）发送的信息里包含发送时刻的“坐标”和“时间戳”。（图1）
- GPS接收器收到这个信号后，可以通过时间戳计算出该卫星到自己的距离 \( r_1 \)：\( r_1 \) = 光速 × 传输时间。
- 所有距离这个卫星 \( r_1 \) 的位置，构成一个半径为 \( r_1 \) 的球面。为方便叙述，我称之为“等距球面”。几何知识告诉我们，两个球面相交于一个圆，所以这个“等距球面”与地球表面相交得到一个圆（图2a——需要一点立体感）。显然，只有一个卫星的信号时，我们无法确定自己的位置，只知道自己在那个圆上的某处。
如果我们接收到第二个卫星的位置和距离，就可以画出第二个球面。这两个等距球面与地球表面——三个球面——相交，得到我们可能处于的位置。这个交点很可能是两个点，但我们不知道哪个才是正确的位置。（图2b）
有了第三个卫星的位置和距离，它的等距球面很可能穿过其中一个点而不穿过另一个。这样就确定了接收器在地面的坐标。（图2c）
如果我们收到第四个卫星的信号，它的等距球面也会穿过那个点。所以如果只需要地面坐标，第四个卫星并不是必需的。（图2d）
其实这一切都可以归结为一个关键点：四个球面相交于一点。卫星的三个等距球面，加上地球本身（作为第四个球面），相交于唯一的一个点——只有一个位置。
注意，这些信号不一定来自卫星。已知坐标的地面基站也可以发送同类信号（坐标+时间戳），接收器可以用完全同样的方式计算自己的位置——这不过是几何求交计算。
习题1： 在第二步中，由于接收器时钟与GPS卫星时钟通常存在时间差，你无法仅从一个信号获得“传输时间”。但如果同一卫星发送两个信号，你就可以消除这个偏差并计算出传输时间。请自行思考原因。
习题2a： 在第四步中，我说两个等距球面与地球的交点“很可能”只有两个点。在哪些特殊情况下，这个交点会多于两个点？还可能是什么形状？
习题2b： 在第五步中，我说第三个卫星的等距球面“很可能”穿过其中一个点而不穿过另一个。在哪些特殊情况下，它的等距球面会同时穿过两个点？
习题3： 有四个卫星的信号时，你不仅可以计算坐标，还可以计算海拔高度。那么第四个卫星还有什么用处？
习题4： 如果我们完全依赖地面基站，用三个基站的信号就可以计算坐标。有第四个基站的信号时，能否计算海拔？如果能，这四个基站的位置需要满足什么条件？
习题5： 如果习题4的方案可行，请设计一个完全不使用卫星，但能完全复现卫星GPS系统功能的“地基GPS系统”。它需要满足日常车辆与行人导航、航空、航海、徒步、越野等需求。系统必须成本可控，费用不高于卫星系统。