Gram-Schmidt正交化方法 | AI生成和翻译
Gram-Schmidt 正交化方法 是一种在内积空间（通常为 \(\mathbb{R}^n\) 或 \(\mathbb{C}^n\)）中将一组线性无关向量标准正交化的方法。它将给定基转换为标准正交基，使得向量彼此正交且长度为 1。
算法：Gram-Schmidt 正交化过程
给定内积空间中一组线性无关的向量 \( {v_1, v_2, \dots, v_n} \)，我们按以下步骤构建标准正交基 \( {u_1, u_2, \dots, u_n} \)：
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步骤 1：计算第一个标准正交向量
\[ u_1 = \frac{v_1}{|v_1|} \] -
步骤 2：使第二个向量与第一个正交并归一化
\[ v_2’ = v_2 - \text{proj}_{u_1}(v_2) = v_2 - \frac{\langle v_2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1 \] \[ u_2 = \frac{v_2’}{|v_2’|} \] -
步骤 3：对其余向量重复此过程
对于 \( k = 3, \dots, n \)： \[ v_k’ = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle v_k, u_j \rangle}{\langle u_j, u_j \rangle} u_j \] \[ u_k = \frac{v_k’}{|v_k’|} \]
其中，\( \text{proj}_{u_j}(v_k) = \frac{\langle v_k, u_j \rangle}{\langle u_j, u_j \rangle} u_j \) 表示 \( v_k \) 在 \( u_j \) 上的投影。
示例：在 \(\mathbb{R}^3\) 中应用 Gram-Schmidt 方法
给定向量：
\[ v_1 = (1, 1, 0), \quad v_2 = (1, 0, 1), \quad v_3 = (0, 1, 1) \]
步骤 1：归一化 \( v_1 \)
\[ u_1 = \frac{v_1}{|v_1|} = \frac{(1,1,0)}{\sqrt{2}} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) \]
步骤 2：将 \( v_2 \) 相对于 \( u_1 \) 正交化
\[ \text{proj}_{u_1}(v_2) = \frac{\langle v_2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1 \]
\[ = \frac{(1,0,1) \cdot (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}, 0)}{1} \cdot (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}, 0) \]
\[ = \frac{1 \cdot 1/\sqrt{2} + 0 \cdot 1/\sqrt{2} + 1 \cdot 0}{1} \cdot (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}, 0) \]
\[ = \frac{1/\sqrt{2}}{1} \cdot (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}, 0) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \]
\[ v_2’ = v_2 - \text{proj}_{u_1}(v_2) = \left(1,0,1\right) - \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right) \]
\[ u_2 = \frac{v_2’}{|v_2’|} \]
\[ = \frac{\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + (1)^2}} \]
\[ = \frac{\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)}{\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1}} = \frac{\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)}{\sqrt{\frac{3}{2}}} \]
步骤 3：将 \( v_3 \) 相对于 \( u_1 \) 和 \( u_2 \) 正交化
对 \( v_3 \) 遵循相同步骤，先投影到 \( u_1 \) 和 \( u_2 \) 上，然后归一化。
总结
Gram-Schmidt 正交化方法 通过逐步将一组线性无关向量转换为标准正交基，确保每个向量与之前的所有向量正交且具有单位长度。该方法在以下应用中具有基础性作用：
- 数值线性代数中的 QR 分解。
- 傅里叶分析中为函数空间构建标准正交基。
- 提高计算算法的数值稳定性。
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