齐次与非齐次系统详解 | AI生成和翻译
在齐次系统 Ax = 0 的语境中，“齐次”特指等式右侧为零的情况。
为明确区分：
齐次系统： Ax = 0（常数项为零）
非齐次系统： Ax = b（其中 b ≠ 0，常数项非零）
“齐次”一词本质上是“均匀”或“同质”的意思。在此场景下，它指的是所有方程等式右侧均为零。
齐次系统的核心特性：
齐次系统始终至少存在一个解：平凡解 x = 0（零向量）。这一结论具有必然性，因为将零向量代入任何方程都会得到 0 = 0 的恒等式。
对于齐次系统，真正值得关注的是是否存在非平凡解（除 x = 0 之外的解）。当矩阵 A 是奇异矩阵（不可逆）时就会出现这种情况，这意味着其列向量线性相关，此时系统将拥有无穷多解。
相比之下，非齐次系统 Ax = b 可能无解、有唯一解或有无穷多解——它并不天然具备解存在的必然性。