高中几何基础指南 | AI生成和翻译

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问题：请提供一份涵盖以下主题的高中 Geometry（几何）综合指南：1. 点、线、面；2. 角（类型、关系）；3. 平行线与垂线；4. 三角形（类型、性质、内角和）；5. 全等三角形（公理、定理）；6. 相似三角形（性质、比例）；7. 勾股定理（Pythagorean Theorem）；8. 特殊直角三角形（30-60-90, 45-45-90）；9. 四边形（类型、性质）；10. 多边形（性质、内角和）；11. 圆（部位、性质、周长、面积）；12. 三角形和四边形的面积；13. 立体图形的体积（棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球体）；14. 解析几何（距离、中点、斜率）；15. 几何变换（平移、对称、旋转、位似）；16. 三角学（直角三角形比例：正弦、余弦、正切）；17. 仰角与俯角；18. 单位圆（Unit Circle）；19. 三角函数（图像、性质）；20. 正弦定理与余弦定理。

回答：

以下是高中 Geometry 模块的结构化综合综述。每个部分都包含关键定义、性质、定理和重要公式。

1. 点、线、面 (Points, Lines, and Planes)

• Point（点）：没有大小的位置（用大写字母表示，如 A）。
• Line（线）：向两个方向无限延伸的直路径（用 ←→ 或两个点表示，如 AB）。
• Plane（面）：无限延伸的平面（用斜体字母或三个不在同一直线上的点表示）。
• Postulates（公理）：
  • 经过任意两点，有且只有一条直线。
  • 经过不在同一直线上的任意三点，有且只有一个平面。
• Segments, rays（线段、射线）：线段 AB 有端点 A 和 B；射线 AB 从 A 开始，向 B 方向无限延伸。

2. 角（类型、关系）(Angles)

• Angle（角）：由具有公共端点（顶点）的两条射线组成。
• Types（类型）：
  • Acute（锐角）：< 90°
  • Right（直角）：= 90°
  • Obtuse（钝角）：> 90° 但 < 180°
  • Straight（平角）：= 180°
• Relationships（关系）：
  • Complementary（余角）：和 = 90°
  • Supplementary（补角）：和 = 180°
  • Vertical angles（对顶角）：两条相交直线形成的相对角 → 全等
  • Linear pair（线性对）：相邻角构成一条直线 → 互补

3. 平行线与垂线 (Parallel and Perpendicular Lines)

• Parallel lines（平行线,

  ）：在同一平面内且永不相交。

• Perpendicular lines（垂线, ⊥）：以 90° 相交。
• Transversal（截线）：一条穿过两条或多条直线的线。
• 截线形成的角度关系：
  • Corresponding angles（同位角）：全等（若直线平行）
  • Alternate interior angles（内错角）：全等（若直线平行）
  • Alternate exterior angles（外错角）：全等（若直线平行）
  • Consecutive (same-side) interior angles（同旁内角）：互补（若直线平行）
• 坐标平面中的斜率：平行线斜率相等；垂线斜率互为负倒数 (m₁ × m₂ = -1)。

4. 三角形（类型、性质、内角和）(Triangles)

• Angle sum（内角和）：内角之和为 180°。
• Exterior angle（外角）：等于两个不相邻内角的和。
• Types（类型）：
  • 按边分：Scalene（不等边三角形）、Isosceles（等腰三角形）、Equilateral（等边三角形）。
  • 按角分：Acute（锐角三角形）、Right（直角三角形）、Obtuse（钝角三角形）。

5. 全等三角形（公理、定理）(Congruent Triangles)

• Definition（定义）：形状和大小完全相同（对应部分相等）。
• Postulates/Theorems（判定）：
  • SSS (边-边-边)
  • SAS (边-角-边，夹角)
  • ASA (角-边-角，夹边)
  • AAS (角-角-边)
  • HL (斜边-直角边) — 仅限直角三角形
• CPCTC：全等三角形的对应部分全等。

6. 相似三角形（性质、比例）(Similar Triangles)

• Definition（定义）：形状相同，大小可能不同（对应角相等，对应边成比例）。
• Criteria（判定）：
  • AA (角-角)
  • SSS Similarity (三边成比例)
  • SAS Similarity (两边成比例且夹角相等)
• Properties（性质）：对应边之比相等（缩放因子）；周长之比等于缩放因子；面积之比等于缩放因子的平方。

7. 勾股定理 (Pythagorean Theorem)

• 在直角三角形中：a² + b² = c² (c = 斜边)。
• 逆定理：如果 a² + b² = c²，则该三角形为直角三角形。

8. 特殊直角三角形 (Special Right Triangles)

• 45-45-90（等腰直角三角形）：
  • 直角边相等；斜边 = 直角边 × √2
  • 比例：1 : 1 : √2
• 30-60-90：
  • 对应边：30°（最短边）、60°、90°（斜边）
  • 比例：1 : √3 : 2（30°对边 : 60°对边 : 斜边）

9. 四边形（类型、性质）(Quadrilaterals)

• Sum of interior angles（内角和）：360°。
• Types（类型）：
  • Parallelogram（平行四边形）：对边平行且全等；对角全等；邻角互补；对角线互相平分。
  • Rectangle（矩形）：四个直角均为 90° 的平行四边形；对角线全等。
  • Rhombus（菱形）：四条边全等的平行四边形；对角线垂直且平分顶角。
  • Square（正方形）：既是矩形又是菱形（具备所有性质）。
  • Trapezoid（梯形）：只有一对平行边（底边）；Isosceles trapezoid（等腰梯形）的腰和底角全等。
  • Kite（筝形）：两组相邻边全等；对角线垂直（一条平分另一条）。

10. 多边形（性质、内角和）(Polygons)

• Regular polygon（正多边形）：所有边和角都相等。
• Interior angle sum（内角和）：(n - 2) × 180° (n = 边数)。
• One interior angle (regular)（正多边形一个内角）：[(n - 2) × 180°] / n
• Exterior angle sum（外角和）：恒为 360°。
• One exterior angle (regular)（正多边形一个外角）：360° / n

11. 圆（部位、性质、周长、面积）(Circles)

• Parts（部位）：Center（圆心）、radius（半径）、diameter（直径）、chord（弦）、secant（割线）、tangent（切线）、arc（弧）、sector（扇形）、segment（弓形）。
• Properties（性质）：
  • 半径在切点处 ⊥ 切线。
  • 直径所对的圆周角为 90°（半圆）。
  • 圆心角 = 所对弧的度数；圆周角 = ½ 所对弧的度数。
• Circumference（周长）：C = 2πr 或 πd
• Area（面积）：A = πr²

12. 三角形和四边形的面积 (Area)

• Triangle（三角形）：A = (1/2)bh 或 (1/2)ab sin C
• Parallelogram（平行四边形）：A = bh
• Rectangle（矩形）：A = lw
• Square（正方形）：A = s²
• Trapezoid（梯形）：A = (1/2) × (b₁ + b₂) × h
• Rhombus/Kite（菱形/筝形）：A = (1/2) × d₁ × d₂

13. 立体图形的体积 (Volume)

• Prism（棱柱）：V = Bh (B = 底面积)
• Cylinder（圆柱）：V = πr²h
• Pyramid（棱锥）：V = (1/3)Bh
• Cone（圆锥）：V = (1/3)πr²h
• Sphere（球体）：V = (4/3)πr³

14. 解析几何 (Coordinate Geometry)

• Distance（距离公式）：d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
• Midpoint（中点）：M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
• Slope（斜率）：m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

15. 几何变换 (Transformations)

• Translation（平移）：滑动 (x,y) → (x + a, y + b)
• Reflection（反射/对称）：关于直线翻转（例如 x 轴：(x,y) → (x,-y)）
• Rotation（旋转）：绕点旋转（例如 绕原点逆时针 90°：(x,y) → (-y,x)）
• Dilation（位似）：相对于中心按比例 k 缩放（改变大小，保持形状）

16. 三角学（直角三角形比例）(Trigonometry)

• SOH-CAH-TOA：
  • sin θ = 对边 / 斜边 (opposite / hypotenuse)
  • cos θ = 邻边 / 斜边 (adjacent / hypotenuse)
  • tan θ = 对边 / 邻边 (opposite / adjacent)

17. 仰角与俯角 (Angles of Elevation and Depression)

• Angle of elevation（仰角）：视线从水平线上方形成的角度。
• Angle of depression（俯角）：视线从水平线下方形成的角度。
• 两者皆可构造直角三角形；利用三角学比例，且数值相等（内错角性质）。

18. 单位圆 (Unit Circle)

• 以原点为圆心，半径为 1 的圆。
• 角度 θ 处点的坐标（从正 x 轴开始）：(cos θ, sin θ)
• 关键角度（角度/弧度）：0°, 30°, 45°, 60°, 90° 等。

19. 三角函数（图像、性质）(Trigonometric Functions)

• Period（周期）：sin/cos = 360° 或 2π；tan = 180° 或 π
• Amplitude（振幅）：sin/cos 为 1（单位圆中）
• Domain/Restrictions（定义域/限制）：sin/cos 为全体实数；tan 在 90° 的奇数倍处无定义。
• Graphs（图像）：Sine（正弦波，从 0 开始），Cosine（余弦波，从 1 开始），Tangent（正切，包含渐近线）。

20. 正弦定理与余弦定理 (Law of Sines and Cosines)

• Law of Sines（正弦定理）：a/sin A = b/sin B = c/sin C（用于 AAS/ASA/SSA 模糊情况）
• Law of Cosines（余弦定理）：c² = a² + b² - 2ab cos C（勾股定理的推广；用于 SAS/SSS 情况）

本指南涵盖了高中 Geometry 取得成功所需的核心概念、定理和公式。

参考文献：

• Khan Academy Geometry Units
• MathGuy.US Geometry Handbook
• Common Core High School Geometry Standards
• Various Geometry Cheat Sheets and Formula References

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