单射函数 | AI生成和翻译
在数学中，“单射”一词指的是两个集合之间的函数或映射关系，其中第一个集合的不同元素映射到第二个集合的不同元素。换句话说，定义域（第一个集合）中任意两个不同元素都不会映射到陪域（第二个集合）中的同一个元素。
这一性质也被称为“一一对应”。若函数 \( f \) 是单射，则对于定义域中的任意两个元素 \( x \) 和 \( y \)，当 \( f(x) = f(y) \) 时，必然有 \( x = y \)。这确保了陪域中的每个元素最多被定义域中的一个元素映射。
要理解为何线性变换 \( T \) 在核空间仅包含零向量时是单射，我们需要剖析定义及其内在联系：
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变换的核空间：线性变换 \( T: V \rightarrow W \) 的核空间（记作 \( \ker(T) \)）由 \( V \) 中所有被映射到 \( W \) 中零向量的向量构成。数学表述为 \( \ker(T) = { v \in V \mid T(v) = 0 } \)。
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单射变换：线性变换 \( T \) 是单射（或一一对应）当且仅当 \( V \) 中不同向量映射到 \( W \) 中的不同向量。换言之，若 \( T(u) = T(v) \)，则必有 \( u = v \)。
现在将这两个概念联系起来：
- 假设 \( \ker(T) = {0} \)，这意味着 \( V \) 中唯一能映射到 \( W \) 零向量的向量是零向量本身。
- 为证明 \( T \) 是单射，设 \( T(u) = T(v) \)。根据 \( T \) 的线性性质，可得 \( T(u) - T(v) = T(u - v) = 0 \)。
- 由于 \( \ker(T) = {0} \)，\( T(u - v) = 0 \) 意味着 \( u - v = 0 \)，即 \( u = v \)。
因此，当 \( \ker(T) = {0} \) 时，变换 \( T \) 是单射。这是因为 \( T(v) = 0 \) 的唯一解是 \( v = 0 \)，从而确保 \( V \) 中不存在两个不同向量被映射到 \( W \) 中的同一向量。
等式 \( T(u) - T(v) = T(u - v) \) 是线性变换 \( T \) 线性性质的直接体现。以下解析其成立原理：
- \( T \) 的线性性质：线性变换 \( T \) 满足以下两个关键性质（对任意向量 \( u, v \) 及标量 \( c \)）：
- 可加性：\( T(u + v) = T(u) + T(v) \)
- 齐次性：\( T(cu) = cT(u) \)
- \( T(u) - T(v) = T(u - v) \) 的推导：
- 运用可加性性质，可将 \( T(u - v) \) 表示为 \( T(u + (-v)) \)，其等于 \( T(u) + T(-v) \)。
- 根据齐次性性质，\( T(-v) = -T(v) \)。
- 因此，\( T(u - v) = T(u) + (-T(v)) = T(u) - T(v) \)。
由此可见，\( T(u) - T(v) = T(u - v) \) 是 \( T \) 线性性质的直接推论。这一性质在线性代数中具有基础性地位，常见于涉及线性变换的证明与推导过程。