跨学科理解同构性 | AI生成和翻译
Question: “isomorphic” 是什么意思？
Answer:
Isomorphic 的意思是“具有相同的形状/结构/形式” —— 如果两个事物在结构上是相同的，即使它们在表面看起来不同，它们也是 isomorphic 的。
其具体含义取决于其所在的领域：
Mathematics (最常见的用法)
两个对象是 isomorphic 的，前提是它们之间存在一个 bijective（一一对应且满射）的映射，并且该映射能够 preserves all relevant structure（保持所有相关的结构）。
按领域分类的示例：
-
Graph theory
如果可以对一个图的顶点重新标记，使其与另一个图完全相同（具有相同的连接关系），则这两个图是 isomorphic 的。 -
Group theory
两个群 (G, ⋅) 和 (H, ∗) 是 isomorphic 的，如果存在一个 bijection φ: G → H，使得
φ(a ⋅ b) = φ(a) ∗ φ(b) 对于所有 a, b ∈ G 均成立
（它们的乘法表完全相同，只是元素的名称不同） -
Linear algebra
如果两个 vector spaces 具有相同的维数（它们之间存在线性 bijection），则它们是 isomorphic 的。 -
Category theory
如果两个对象之间存在 isomorphism（一个具有 inverse morphism 的 morphism），则它们是 isomorphic 的。
快速总结表：
| Field | “相同结构”的含义 | 典型的 isomorphism 符号 |
|---|---|---|
| Sets | 相同的 cardinality (存在 bijection) | ≈ 或 ≅ |
| Graphs | 重新标记后具有相同的 adjacency 关系 | ≅ |
| Groups | 相同的 operation table | ≅ |
| Vector spaces | 相同的 dimension | ≅ |
| Rings / Fields | 保持加法和乘法运算 | ≅ |
| Topological spaces | Homeomorphism (具有连续逆映射的连续 bijection) | ≈ 或 ≅ |
在其他语境中 (较非正式)
- Chemistry：如果分子具有相同的 connectivity，则它们是 isomorphic 的（有时被称为 “isostructural”）。
- Programming / databases：如果两个 data structures / schemas 能够通过无损转换（lossless conversion）表示完全相同的信息，则它们是 isomorphic 的。
- 日常语言 (罕见)：指“结构上相同”或“形式上等价”。
在 Math/CS 中最常用的简短回答：
“Isomorphic = 它们之间存在一种保持结构的 bijection。”
References:
- None (此为标准数学术语)