线性代数精要手册 | AI生成和翻译
作为专注于工程领域的导师，本指南强调对矩阵 \( A = [a_{ij}]_{i=1}^m, j=1^n \in \mathbb{R}^{m \times n} \)（行索引为 \( i \)，列索引为 \( j \)，基于1）进行可验证的、索引明确的运算。所有步骤均通过索引展示以确保清晰性；示例中对条目进行内联注释。通过2×2/3×3案例的行简化和特征值求解进行复习。
1. 矩阵运算
- 加法：对于所有 \( i,j \)，\( (A + B){ij} = a{ij} + b_{ij} \)。
- 标量乘法：对于标量 \( c \) 和所有 \( i,j \)，\( (cA){ij} = c a{ij} \)。
- 矩阵乘法（如果 \( m \times p \) 和 \( p \times n \)）：对于所有 \( i=1^m \), \( j=1^n \)，\( (AB){ij} = \sum{k=1}^p a_{ik} b_{kj} \)。
- 转置：\( (A^T){ij} = a{ji} \)；因此 \( (AB)^T_{ij} = \sum_k b_{ki} a_{kj} = (B^T A^T)_{ij} \)。
- 逆（对于方阵 \( n \times n \)，\( \det A \neq 0 \)）：\( A^{-1} \) 满足 \( \sum_k a_{ik} (A^{-1}){kj} = \delta{ij} \)（克罗内克δ：若 \( i=j \) 则为1，否则为0）。性质：\( (AB)^{-1}{ij} = \sum_k (B^{-1}){ik} (A^{-1}){kj} = (B^{-1} A^{-1}){ij} \)；\( (A^T)^{-1}{ij} = \sum_k (A^{-1}){ki} (A^T){kj} \)？等等，不对：\( (A^{-1})^T{ij} = (A^{-1}){ji} \)，所以 \( [(A^T)^{-1}]{ij} = (A^{-1})_{ji} \)。
示例（2×2逆矩阵注释）：设 \( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \)。则 \( A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix} \)，其中 \( \det A = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \)。
2. 行列式
- 定义：对于方阵 \( A \)，沿行 \( i \) 的余子式展开：\( \det A = \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij} \)，其中余子式 \( M_{ij} \) 是删除行 \( i \) 和列 \( j \) 后的子矩阵（因此 \( M_{ij} = [m_{pq}] \)，其中 \( p=1^{n-1} \setminus i \), \( q=1^{n-1} \setminus j \)，重新标记为基于1），代数余子式 \( C_{ij} = (-1)^{i+j} \det(M_{ij}) \)。
- 性质：
- \( \det(AB) = \det A \cdot \det B \)；\( \det(A^T) = \det A \)（因为展开对称）。
- \( \det(cA) = c^n \det A \)。
- 行交换：\( \det \) 乘以 -1；将行 \( k \) 的倍数加到行 \( i \neq k \)：不变；将行 \( i \) 缩放 \( c \) 倍：乘以 \( c \)。
- \( \det I = 1 \)（对角线为1）；若 \( \det A = 0 \) 则为奇异（秩 < n）。
- 伴随矩阵：\( \adj(A){ij} = C{ji} = [C^T]{ij} \)，其中 \( C = [C{pq}] \)。逆矩阵：\( A^{-1} = \frac{1}{\det A} \adj A \)，因此 \( (A^{-1}){ij} = \frac{1}{\det A} \sum_k \delta{ik} C_{kj} \)？不对：矩阵形式验证 \( A \adj A = (\det A) I \)。
示例（2×2代数余子式）：对于上述 \( A \)，\( M_{11} = [a_{22}] \)，\( C_{11} = (-1)^{1+1} a_{22} = a_{22} \)；\( M_{12} = [a_{21}] \)，\( C_{12} = (-1)^{1+2} a_{21} = -a_{21} \)；类似地 \( C_{21} = -a_{12} \)，\( C_{22} = a_{11} \)。因此 \( \adj A = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} \ C_{12} & C_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix} \)。
- 克拉默法则（对于 \( \sum_j a_{ij} x_j = b_i \)，\( i=1^n \)，\( \det A \neq 0 \)）：\( x_r = \frac{\det A_r}{\det A} \)，其中 \( A_r \) 将 \( A \) 的第 \( r \) 列替换为 \( [b_i]{i=1}^n \)，因此若 \( j \neq r \) 则 \( (A_r){ij} = a_{ij} \)，否则为 \( b_i \)。
3. 线性方程组与高斯消元法
-
增广矩阵：\( [A b] = [a_{ij} b_i] \)，其中 \( i=1^m \), \( j=1^n \)。 - 行化简为行阶梯形式：应用初等行运算（交换行 \( p \leftrightarrow q \)；将行 \( p \) 缩放 \( c \neq 0 \) 倍：行 \( p \leftarrow c \) 行 \( p \)；将 \( c \) 倍行 \( q \) 加到行 \( p \)）得到行阶梯形式：行 \( i \) 的主元位于列 \( p_i \geq p_{i-1} \)，主元下方为零。
- 化为简化行阶梯形式：继续使主元上方为零，将主元缩放为1。
- 秩：行阶梯形式中非零行的数量（或主元数量）。
- 解的情况：
-
唯一解：若秩 \( A = n \)，秩 \( [A b] = n \)（零度0）。 -
无穷多解：若秩 \( A = \) 秩 \( [A b] = r < n \)（n-r个自由变量）。 -
无解：若秩 \( A < \) 秩 \( [A b] \)。
-
- 通解：\( x = x_p + x_h \)，特解 \( x_p \) 来自简化行阶梯形式，齐次解 \( x_h \) 张成零空间（自由变量基）。
- 步骤示例（2×2方程组注释）：求解 \( a_{11} x_1 + a_{12} x_2 = b_1 \)，\( a_{21} x_1 + a_{22} x_2 = b_2 \)。行2 ← 行2 - (a_{21}/a_{11}) 行1：新行2 = [0, a_{22} - (a_{21} a_{12}/a_{11}), b_2 - (a_{21} b_1 / a_{11}) ]。回代：\( x_2 = \) … / 行列式项，等等。
4. 向量空间
-
子空间：Col(A) = 张成{A的列 j, j=1^n} = { \( \sum_j x_j \) 列 j x }；维数 = 秩 A。 - 行空间：Row(A) = Col(A^T)；维数 = 秩 A。
-
零空间：Nul(A) = { x \( \sum_j a_{ij} x_j = 0 \) 对所有 i }；基来自简化行阶梯形式的自由列。 - 秩-零度定理：秩 A + 零度(A) = n。
5. 线性变换
- 矩阵表示：T(x)i = \( \sum_j a{ij} x_j \)。
- 核：Ker T = Nul(A)；像 Im T = Col(A)。
6. 特征值
- 特征多项式：det(A - λ I) = 0，其中 (A - λ I){ij} = a{ij} - λ δ_{ij}。
- 特征向量：对于 λ，求解 \( \sum_j (a_{ij} - λ δ_{ij}) v_j = 0 \)，v = [v_j] ≠ 0。
- 可对角化：若所有 k 满足 alg mult(λ_k) = geo mult(λ_k)（全特征空间维数），则 A = P D P^{-1}，D_{ij} = λ_i δ_{ij}，P 的列 = 特征向量。
- 对称矩阵：A = A^T ⇒ 正交对角化：A = Q D Q^T，Q^T Q = I。
7. 内积与正交化
- 欧几里得内积：<u,v> = \( \sum_i u_i v_i = u^T v \)。
- 格拉姆-施密特步骤：对于基 {v^{(k)}}，u^{(1)} = v^{(1)}；u^{(k)} = v^{(k)} - \sum_{m=1}^{k-1} \proj_{u^{(m)}} v^{(k)}，其中 \proj_w v = \frac{<v,w>}{<w,w>} w（分量 \( \sum_i … \)）。
| 快速验证提示：始终对 [A - λI | 0] 进行行化简以求得特征空间；若 n≤3 则通过展开检查行列式。 |