线性代数笔记增强版 | AI生成和翻译
在线性代数中，两个方阵 \( A \) 和 \( B \) 被称为相似矩阵，如果存在一个可逆矩阵 \( P \) 使得：
\[ B = P^{-1}AP \]
这种关系被称为相似变换。矩阵 \( P \) 被称为基变换矩阵，它将矩阵 \( A \) 变换为矩阵 \( B \)。
相似矩阵的关键性质：
- 相同特征值：相似矩阵具有相同的特征值。这是因为特征值在相似变换下保持不变。
- 相同行列式：相似矩阵的行列式相同，因为 \(\det(P^{-1}AP) = \det(A)\)。
- 相同迹：相似矩阵的迹（对角线元素之和）相同，因为 \(\text{tr}(P^{-1}AP) = \text{tr}(A)\)。
- 相同秩：相似矩阵具有相同的秩。
- 相同特征多项式：相似矩阵共享相同的特征多项式。
直观理解：
相似矩阵表示相同线性变换在不同基下的表示。矩阵 \( P \) 可以被视为坐标变换，改变线性变换表示的基。
示例：
考虑两个矩阵 \( A \) 和 \( B \)：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \ 2 & 1 \end{pmatrix} \]
要检查它们是否相似，我们需要找到一个可逆矩阵 \( P \) 使得 \( B = P^{-1}AP \)。
您想了解如何为特定矩阵 \( A \) 和 \( B \) 找到这样的矩阵 \( P \) 的示例吗？
是的，矩阵：
\[
A = \begin{bmatrix}
1 & 2
3 & 4
\end{bmatrix}
\]
确实具有奇异值分解（SVD）。让我们逐步找出这个矩阵的SVD。
步骤1：计算 \( A^T A \)
首先，我们计算矩阵 \( A^T A \)：
\[ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 2 & 4 \end{bmatrix} \]
现在，将 \( A^T \) 和 \( A \) 相乘：
\[ A^T A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 9 & 2 + 12 \ 2 + 12 & 4 + 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 14 \ 14 & 20 \end{bmatrix} \]
步骤2：\( A^T A \) 的特征值和特征向量
为了找到奇异值，我们需要 \( A^T A \) 的特征值。我们求解特征方程 \( \text{det}(A^T A - \lambda I) = 0 \)：
\[ \text{det}\begin{bmatrix} 10 - \lambda & 14 \ 14 & 20 - \lambda \end{bmatrix} = 0 \]
得到：
\[ (10 - \lambda)(20 - \lambda) - 14 \times 14 = 0 \]
\[ \lambda^2 - 30\lambda + 100 - 196 = 0 \]
\[ \lambda^2 - 30\lambda - 96 = 0 \]
解这个二次方程：
\[ \lambda = \frac{-(-30) \pm \sqrt{(-30)^2 - 4(1)(-96)}}{2(1)} = \frac{30 \pm \sqrt{900 + 384}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{1284}}{2} \]
\[ \lambda = \frac{30 \pm 35.86}{2} \]
因此，特征值为：
\[ \lambda_1 \approx 32.93 \quad \text{和} \quad \lambda_2 \approx 0.93 \]
步骤3：计算奇异值
奇异值是 \( A^T A \) 特征值的平方根。因此，我们有：
\[ \sigma_1 = \sqrt{32.93} \approx 5.73 \quad \text{和} \quad \sigma_2 = \sqrt{0.93} \approx 0.96 \]
步骤4：计算矩阵 \( U \) 和 \( V \)
为了找到矩阵 \( U \) 和 \( V \)，我们需要计算 \( A^T A \) 和 \( A A^T \) 的特征向量，但由于这需要超出基本计算的详细步骤，通常需要数值求解。
然而，基于上述特征值，我们知道奇异值为 \( 5.73 \) 和 \( 0.96 \)，而 \( U \) 和 \( V \) 将是分别对应于 \( A A^T \) 和 \( A^T A \) 特征向量的正交矩阵。
因此，矩阵 \( A \) 的SVD为：
\[ A = U \Sigma V^T \]
其中：
- \( \Sigma = \begin{bmatrix} 5.73 & 0 \ 0 & 0.96 \end{bmatrix} \)
- \( U \) 和 \( V \) 是分别对应于 \( A A^T \) 和 \( A^T A \) 特征向量的正交矩阵。
您可以通过求解 \( A^T A \) 和 \( A A^T \) 的特征值问题来找到 \( U \) 和 \( V \) 的精确值。
该陈述描述了矩阵作为线性变换的行为。让我们分解理解为何会发生这种情况：
矩阵作为线性变换：
- 输入空间：该矩阵作用于来自3维空间的向量（因为它有3列）。这意味着它接受3分量向量作为输入。
- 输出空间：该矩阵将这些向量映射到2维空间（因为它有2行）。这意味着它产生2分量向量作为输出。
零空间：
- 定义：矩阵的零空间（或核）由所有乘以矩阵后结果为零向量的向量组成。
- 维度：矩阵的零度是此零空间的维度。在这种情况下，零度为1，意味着存在一个1维子空间的向量被映射到零。
- 解释：这个1维子空间表示（在3维输入空间中）被”压缩”或”坍缩”到2维输出空间中零向量的向量所在的一条直线。
为何发生这种情况：
- 秩-零度定理：该定理指出，对于任何 \(m \times n\) 矩阵，秩（列空间的维度）加上零度（零空间的维度）等于列数 \(n\)。这里，秩为2，列数为3，因此零度必须为1。
- 线性相关性：存在维度为1的零空间表明矩阵的列之间存在某种冗余或线性相关性。这意味着其中一列可以表示为其他两列的线性组合。
可视化：
- 想象一个3D空间，其中特定直线（零空间）上的所有点都被映射到2D空间中的原点。这条直线表示被矩阵定义的变换”丢失”或”忽略”的向量。
这种行为是线性变换的基本方面，并突显了矩阵如何降低它们作用空间的维度。
为了确定矩阵可对角化的必要条件，我将检查每个陈述。
一个方阵A可对角化当且仅当存在一个可逆矩阵P使得P⁻¹AP是对角矩阵。这恰好发生在A拥有完整的线性无关特征向量集合时。
让我们分析每个选项：
a) 矩阵必须至少有一个特征值。 虽然所有n×n矩阵（在复数域中）至少有一个特征值，但这本身并不保证可对角化。一个矩阵可能有特征值，但如果它没有足够的线性无关特征向量，仍然不可对角化。
b) 矩阵必须有互不相同的特征值。 拥有互不相同的特征值是充分条件但不是必要条件。具有重复特征值的矩阵如果与这些重复特征值相关联的有足够的线性无关特征向量，仍然可以是对角化的。
c) 矩阵必须有足够的线性无关特征向量。 这正是可对角化的充要条件。具体来说，一个n×n矩阵可对角化当且仅当它有n个线性无关的特征向量，构成向量空间的一组基。
因此，选项c)是正确答案：矩阵可对角化当且仅当它有足够的线性无关特征向量。