线性代数 | 原创，AI翻译
以下是关于线性代数考试的100个英文关键点，基于前面提到的内容：
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线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间及这些空间之间的线性映射。
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它涉及求解线性方程组。
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向量是既有大小又有方向的数学对象。
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向量可以在n维空间中表示。
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根据上下文，向量通常以列或行的形式书写。
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矩阵乘法不满足交换律（即AB ≠ BA）。
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矩阵是按行和列排列的矩形数组。
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方阵具有相同的行数和列数。
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单位矩阵是对角线为1、其余元素为0的方阵。
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零矩阵是所有元素都为零的矩阵。
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只有当两个矩阵维度相同时才能进行矩阵加法。
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当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，才能进行矩阵乘法。
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矩阵的行列式提供了重要性质，如可逆性。
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当且仅当行列式非零时，矩阵可逆。
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行向量是只有一行的矩阵。
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列向量是只有一列的矩阵。
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矩阵的转置是通过交换行和列得到的。
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矩阵的迹是主对角线上元素的总和。
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矩阵的秩是线性无关行或列的最大数量。
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如果矩阵的秩等于其行数（或列数），则称其具有满秩。
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如果方阵主对角线以外的所有元素都为零，则称其为对角矩阵。
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矩阵的特征值是满足特征方程的数。
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矩阵的特征向量是当矩阵作用于该向量时仅发生缩放的非零向量。
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特征方程由行列式 A - λI = 0得到，其中A是矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵。 -
特征值和特征向量在各种应用中至关重要，包括矩阵对角化。
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对角矩阵是主对角线以外的所有元素都为零的矩阵。
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矩阵A的逆记为A⁻¹，满足A * A⁻¹ = I。
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如果矩阵是方阵且满秩，则可逆。
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克拉默法则是使用行列式求解线性方程组的方法。
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如果线性方程组至少有一个解，则称其为相容的。
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如果线性方程组无解，则称其为不相容的。
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如果线性方程组有无穷多解，则称其为相关的。
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如果线性方程组有唯一解，则称其为独立的。
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高斯消元法是求解线性方程组的算法。
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矩阵的简化行阶梯形（RREF）是用于求解线性系统的简化形式。
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齐次线性方程组总是至少有一个解：零解（所有变量为零）。
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非齐次线性方程组可能有解，也可能无解。
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向量空间是可以进行向量加法和标量乘法的一组向量。
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零向量是向量空间中的加法单位元。
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子空间是向量空间的子集，并且本身也是一个向量空间。
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一组向量的张成空间是这些向量的所有可能线性组合的集合。
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如果一组向量中的任意向量都不能表示为其他向量的线性组合，则称这组向量线性无关。
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如果一组向量中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合，则称这组向量线性相关。
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向量空间的基是一组线性无关的向量，它们可以张成整个空间。
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向量空间的维数是该空间任意基中向量的数量。
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子空间的维数总是小于或等于原始向量空间的维数。
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矩阵的秩等于其列空间的维数。
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矩阵的零空间由齐次方程组Ax = 0的所有解组成。
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线性变换是两个向量空间之间的函数，保持向量加法和标量乘法。
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线性变换的核（零空间）由所有映射到零向量的向量组成。
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线性变换的像（值域）由所有可能的输出组成。
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秩-零化度定理描述了线性变换的秩和零化度之间的关系。
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如果矩阵有完整的线性无关特征向量集，则可以对角化。
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矩阵的对角化涉及找到一个与原始矩阵相似的对角矩阵。
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二次型是一种将向量映射为标量的函数，通常表示为xᵀAx，其中A是对称矩阵。
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对称矩阵满足A = Aᵀ的性质。
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格拉姆-施密特过程是在内积空间中对一组向量进行正交化的算法。
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正交向量是点积为零的向量。
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正交矩阵是其行和列是正交单位向量的方阵。
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正交规范集是一组单位长度的正交向量。
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如果矩阵可逆且其逆等于其转置，则称该矩阵为正交矩阵。
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可以使用投影公式将一个向量投影到另一个向量上。
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矩阵的行列式是一个可以从其元素计算得到的标量值。
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2x2矩阵的行列式可以计算为ad - bc，对于矩阵[[a, b], [c, d]]。
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3x3矩阵的行列式可以使用余子式展开计算。
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三角矩阵的行列式是对角线元素的乘积。
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如果矩阵的行列式为零，则称其为奇异矩阵。
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如果矩阵的行列式非零，则称其为非奇异矩阵（可逆矩阵）。
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线性方程组可以表示为矩阵方程Ax = b。
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行操作可用于简化矩阵，以便更容易计算行列式。
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如果矩阵具有以下性质：每行有先导1，且先导1以下的所有元素为零，则称其为行阶梯形。
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如果矩阵在行阶梯形的基础上，先导1是其所在列中唯一的非零元素，则称其为简化行阶梯形。
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凯莱-哈密顿定理指出，每个方阵都满足其特征方程。
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置换矩阵是一种方阵，用于重新排列另一个矩阵的行或列。
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可以使用伴随矩阵法或高斯消元法计算矩阵的逆。
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通过找到矩阵的特征值和特征向量，可以将其对角化。
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矩阵乘积的行列式等于它们行列式的乘积。
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矩阵乘积的转置是它们转置的逆序乘积。
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两个矩阵乘积的逆是它们逆的逆序乘积。
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在向量空间中，每个向量都可以唯一地表示为基向量的线性组合。
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列空间的维数等于矩阵的秩。
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行空间的维数也等于矩阵的秩。
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矩阵的行空间和列空间具有相同的维数。
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特征值问题是求解方程Av = λv，其中A是矩阵，λ是标量，v是向量。
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矩阵的行列式提供了关于其可逆性及其他性质的重要信息。
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正交矩阵在变换向量时保持长度和角度不变。
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矩阵的对角化可以简化线性方程组的求解。
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最小二乘法用于求解超定方程组。
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在实际应用中，线性代数用于计算机图形学、优化、工程和数据科学。
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反对称矩阵是等于其转置的负值的方阵。
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奇异值分解（SVD）是将矩阵分解为三个矩阵，以揭示其重要性质。
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可以通过行简化得到行阶梯形来确定矩阵的秩。
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可对角化矩阵可以表示为其特征向量和特征值的乘积。
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上三角矩阵是对角线以下所有元素为零的矩阵。
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下三角矩阵是对角线以上所有元素为零的矩阵。
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矩阵分解方法（如LU分解）对于求解大型方程组非常有用。
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矩阵逆可用于求解线性方程组。
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格拉姆-施密特过程确保一组向量正交。
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行列式有助于确定方程组是否有唯一解。
- 理解线性代数对于数学、物理、经济学和计算机科学中更高级的主题至关重要。