线性代数考试速查指南 | AI生成和翻译

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核心概念与公式速查。重点复习矩阵、行列式、线性系统、向量空间、变换、特征值及二次型等历年考试核心内容。熟记定义、性质与计算方法。

1. 矩阵

• 定义：\( A = [a_{ij}] \in \mathbb{R}^{m \times n} \)。
• 运算：
  • 加法：\( (A + B){ij} = a{ij} + b_{ij} \)。
  • 标量乘法：\( (cA){ij} = c a{ij} \)。
  • 乘法：\( (AB){ij} = \sum_k a{ik} b_{kj} \)（需维度匹配）。
• 转置：\( (A^T){ij} = a{ji} \)；\( (AB)^T = B^T A^T \)，\( (A^T)^T = A \)。
• 逆矩阵（方阵）：\( AA^{-1} = I \)；\( (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} \)；\( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \)。
• 类型：
  • 对角矩阵：仅对角线非零。
  • 上/下三角矩阵：对角线以下/以上为零。
  • 对称矩阵：\( A = A^T \)。
  • 正交矩阵：\( A^T A = I \)（列向量标准正交）。

2. 行列式 (det A)

• 性质：
  • \( \det(AB) = \det A \cdot \det B \)；\( \det(A^T) = \det A \)；\( \det(cA) = c^n \det A \)。
  • 行/列交换：值乘以 -1。
  • 行/列倍加：值不变。
  • 行/列缩放 c 倍：值乘以 c。
  • \( \det I = 1 \)；奇异矩阵（行/列线性相关）\( \det A = 0 \)。
• 计算：
  • 2x2：\( \det \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} = ad - bc \)。
  • 余子式展开（第 i 行）：\( \det A = \sum_j a_{ij} C_{ij} \)，其中 \( C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \)（余子式行列式）。
  • 三角矩阵：对角线元素乘积。
• 伴随矩阵/逆矩阵：\( A^{-1} = \frac{1}{\det A} \adj A \)，其中 \( \adj A = C^T \)（余子式矩阵转置）。
• 克莱姆法则（适用于 \( Ax = b \) 且 det A ≠ 0）：\( x_i = \frac{\det A_i}{\det A} \)（A_i 为第 i 列替换为 b 的矩阵）。

3. 线性系统 (Ax = b)

• 高斯消元法：行化简增广矩阵 [A

  b] 为行阶梯形/简化行阶梯形。

  • 行阶梯形：主元（首项 1）呈右下阶梯状；主元下方为零。
  • 回代求解唯一解。
• 解的情况：
  • 唯一解：秩 A = n（列满秩），零空间为 {0}。

  • 无穷多解：秩 A = 秩 [A

    b] < n（存在自由变量）。

  • 无解：秩 A < 秩 [A

    b]。

• 通解：特解 + 零空间基（齐次解）。
• LU 分解（无行交换）：A = LU（L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵）；求解 Ly = b，Ux = y。
• 最小二乘法（超定系统）：\( \hat{x} = (A^T A)^{-1} A^T b \)（若列满秩）。

4. 向量空间与子空间

• 向量空间：对加法/标量乘法封闭；满足公理（如零向量、逆元）。
• 子空间：向量的张成空间；封闭且包含零向量。
  • 列空间：Col(A) = A 列向量的张成空间；维数 = 秩 A。
  • 行空间：Row(A) = Col(A^T)；维数 = 秩 A。

  • 零空间：Nul(A) = {x

    Ax = 0}；维数 = n - 秩 A。

  • 左零空间：Nul(A^T)。
• 线性无关：c1 v1 + … + ck vk = 0 ⇒ 所有 ci = 0。
• 基：线性无关的生成集。
• 维数：基中向量个数；dim Col(A) + dim Nul(A) = n（秩-零化度定理）。
• 秩：主元列数 = dim Col(A) = dim Row(A)。

5. 线性变换

• 定义：T: V → W 线性若 T(u + v) = T u + T v，T(cu) = c T u。
• 矩阵表示：基于基的 [T] = A，其中 T(x) = A x（标准基）。
• 核：Ker T = Nul(A)；像：Im T = Col(A)。
• 同构：一一对应且满射（可逆矩阵）。
• 秩-零化度定理：dim Ker T + dim Im T = dim V。

6. 特征值与特征向量

• 定义：A v = λ v（v ≠ 0 为特征向量，λ 为特征值）。
• 特征方程：det(A - λ I) = 0；根 λi（代数重数）。
• 特征向量：解 (A - λ I) v = 0；几何重数 = 特征空间维数。
• 可对角化：n 个线性无关特征向量 ⇒ A = X Λ X^{-1}（Λ = diag(λi)，X = [v1 … vn]）。
  • 对称矩阵 A：恒可对角化；特征向量正交（A = Q Λ Q^T，Q 为正交矩阵）。
• 迹：tr A = ∑ λi。
• 行列式：det A = ∏ λi。
• 相似矩阵：A ~ B 若 A = P B P^{-1}；具有相同特征值、迹、行列式。

7. 内积与二次型

• 内积：<u, v> = u^T v（欧几里得）；

  v

  = √<v,v>。

• 正交：<u,v> = 0；标准正交基：<ei, ej> = δij。
• 格拉姆-施密特正交化：将基 {v1,…,vn} 正交化为 {u1,…,un}。
  • u1 = v1；uk = vk - proj_{span(u1..u_{k-1})} vk；proj_w v = (<v,w>/<w,w>) w。
• 二次型：q(x) = x^T A x（A 对称）。
  • 正定：对所有 x ≠ 0 有 q(x) > 0（所有 λi > 0）。
  • 对角化：q(x) = ∑ λi yi^2（y = Q^T x）。

速记要点

• 计算秩：行化简求主元数。
• 判断可对角化：每个 λ 的几何重数 = 代数重数。
• 备考建议：练习行化简、行列式展开、2x2/3x3 矩阵特征问题。
• 常见错误：忽略重数；余子式符号错误；矩阵乘法不可交换。

明日考试顺利——重在理解而非死记！

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