线性代数教程 | AI生成和翻译
1. 引言
定义与重要性
线性代数是研究向量空间及其线性映射的数学分支，在工程学、物理学、计算机科学和经济学中具有基础性地位。
标量、向量与矩阵
- 标量：单个数字（如实数或复数）
- 向量：有序数字列表，表示大小和方向
- 矩阵：数字的矩形阵列，表示变换或系统
应用领域
- 物理学（量子力学、相对论）
- 工程学（控制系统、电路分析）
- 经济学（最优化、博弈论）
- 数据科学与机器学习
2. 方程组
表示形式
线性方程组可写作矩阵形式： \[ Ax = b \] 其中 \( A \) 是矩阵，\( x \) 是变量向量，\( b \) 是常数向量。
求解方法
- 高斯消元法：将方程组转化为行阶梯形求解未知数
- 行化简（简化行阶梯形，RREF）：进一步化简矩阵以确定解
- 解的类型：
- 唯一解：单个交点
- 无穷多解：多个交点
- 无解：平行线（不相容系统）
- 齐次与非齐次：
- 齐次：\( Ax = 0 \)（至少存在一个解）
- 非齐次：\( Ax = b \)
3. 矩阵与运算
记法与类型
- 方阵：行数与列数相同的矩阵
- 单位矩阵（I）：对角线元素为1，其余为0
- 零矩阵（0）：所有元素均为零
运算规则
- 加法与减法：按元素运算
- 标量乘法：每个元素乘以标量
- 矩阵乘法：\( (AB){ij} = \sum{k} A_{ik} B_{kj} \)
- 转置：行列互换
- 逆矩阵（A\(^-1\)）：仅当行列式非零时存在
4. 行列式
定义
与方阵相关的标量值，用于求解线性方程和理解矩阵性质。
计算方法
- 2×2矩阵：\( \text{det} \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} = ad - bc \)
- 3×3矩阵：使用余子式展开或萨吕法则
- 高阶矩阵：使用行展开或拉普拉斯展开
性质与应用
- 克莱姆法则：利用行列式求解方程组 \( Ax = b \)
- 奇异与非奇异矩阵：行列式 \( = 0 \) 表示不可逆
5. 向量空间
定义
满足向量加法和标量乘法封闭性的向量集合。
核心概念
- 子空间：满足封闭性质的向量空间子集
- 基：张成空间的最小线性无关向量组
- 维度：基向量的数量
- 线性无关：集合中任意向量都不能表示为其他向量的线性组合
- 张成空间：给定向量组所有线性组合的集合
- 基变换：不同向量空间表示形式间的转换
6. 线性变换
定义
保持向量加法和标量乘法的函数 \( T: V \to W \)。
表示方法
每个线性变换都可以用矩阵表示。
性质
- 核（零空间）：被映射到零的向量集合
- 像（值域）：输出向量的集合
- 单射性：\( \text{Ker}(T) = {0} \)
- 满射性：像充满整个到达域
7. 特征值与特征向量
定义
- 特征值（λ）：满足 \( Av = \lambda v \) 的标量
- 特征向量（v）：满足 \( Av = \lambda v \) 的非零向量
计算方法
- 求解特征方程 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)
- 通过 \( (A - \lambda I)v = 0 \) 求对应特征向量
应用场景
- 稳定性分析
- 马尔可夫过程
- 机器学习中的主成分分析（PCA）
8. 内积空间
点积与范数
- 点积：\( a \cdot b = \sum a_i b_i \)
- 范数（模长）：\( |v| = \sqrt{v \cdot v} \)
正交性与标准正交基
- 正交向量：点积为零的向量
- 标准正交基：所有向量相互正交且长度为1的基
- 格拉姆-施密特过程：将基转化为标准正交基的方法
9. 应用实例
现实问题
- 网络流：基于线性代数的最优化方法
- 数据拟合：使用最小二乘法的回归技术
计算方法
- 编程中的矩阵：Python、MATLAB和NumPy中用于科学计算