线性独立性证明 | AI生成和翻译
- 已知向量 \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \) 线性无关，且向量 \( \beta_1 = \alpha_1 + 2\alpha_2 \)，\( \beta_2 = -\alpha_1 + \alpha_2 - 3\alpha_3 \)，\( \beta_3 = 3\alpha_1 + 6\alpha_3 \)。证明向量 \( \beta_1, \beta_2, \beta_3 \) 线性相关。
解答：
要证明向量 \( \beta_1, \beta_2, \beta_3 \) 线性相关，需证明存在不全为零的标量 \( c_1, c_2, c_3 \) 使得：
\[ c_1 \beta_1 + c_2 \beta_2 + c_3 \beta_3 = 0 \]
已知： \[ \beta_1 = \alpha_1 + 2\alpha_2 \] \[ \beta_2 = -\alpha_1 + \alpha_2 - 3\alpha_3 \] \[ \beta_3 = 3\alpha_1 + 6\alpha_3 \]
需找到常数 \( c_1, c_2, c_3 \) 使得：
\[ c_1 (\alpha_1 + 2\alpha_2) + c_2 (-\alpha_1 + \alpha_2 - 3\alpha_3) + c_3 (3\alpha_1 + 6\alpha_3) = 0 \]
整理得：
\[ (c_1 - c_2 + 3c_3)\alpha_1 + (2c_1 + c_2)\alpha_2 + (-3c_2 + 6c_3)\alpha_3 = 0 \]
由于 \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \) 线性无关，\( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \) 的系数必须均为零：
- \( c_1 - c_2 + 3c_3 = 0 \)
- \( 2c_1 + c_2 = 0 \)
- \( -3c_2 + 6c_3 = 0 \)
解此方程组：
由方程2得： \[ 2c_1 + c_2 = 0 \implies c_2 = -2c_1 \]
由方程3得： \[ -3c_2 + 6c_3 = 0 \implies -3(-2c_1) + 6c_3 = 0 \implies 6c_1 + 6c_3 = 0 \implies c_3 = -c_1 \]
将 \( c_2 = -2c_1 \) 和 \( c_3 = -c_1 \) 代入方程1： \[ c_1 - (-2c_1) + 3(-c_1) = 0 \implies c_1 + 2c_1 - 3c_1 = 0 \implies 0 = 0 \]
此式对任意 \( c_1 \) 均成立。取 \( c_1 = 1 \)：
则： \[ c_2 = -2 \] \[ c_3 = -1 \]
因此存在常数 \( c_1 = 1, c_2 = -2, c_3 = -1 \) 使得：
\[ 1 \cdot \beta_1 - 2 \cdot \beta_2 - 1 \cdot \beta_3 = 0 \]
这证明了向量 \( \beta_1, \beta_2, \beta_3 \) 线性相关。