线性变换 - Gemini

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好的，让我们深入探讨线性变换的详细教程，涵盖定义、示例、矩阵表示、核、像以及单射和满射等性质。这是线性代数中的一个基础主题。

6. 线性变换：详细教程

线性变换 是两个向量空间之间的一种函数，它保持向量加法和标量乘法运算。设 $V$ 和 $W$ 是同一域 $F$（通常是实数集 $\mathbb{R}$ 或复数集 $\mathbb{C}$）上的向量空间。

定义： 函数 $T: V \rightarrow W$ 是一个线性变换，如果它满足以下两个性质，对于所有向量 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ 和所有标量 $c \in F$：

可加性： $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$
齐次性（标量乘法）： $T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})$

这两个性质可以合并为一个条件：对于所有 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ 和所有标量 $c, d \in F$，有 $T(c\mathbf{u} + d\mathbf{v}) = cT(\mathbf{u}) + dT(\mathbf{v})$。

线性的关键推论：

$T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W$，其中 $\mathbf{0}_V$ 是 $V$ 中的零向量，$\mathbf{0}_W$ 是 $W$ 中的零向量。（证明：对于任意 $\mathbf{u} \in V$，有 $T(\mathbf{0}_V) = T(0\mathbf{u}) = 0T(\mathbf{u}) = \mathbf{0}_W$）。
$T(-\mathbf{u}) = -T(\mathbf{u})$。（证明：$T(-\mathbf{u}) = T((-1)\mathbf{u}) = (-1)T(\mathbf{u}) = -T(\mathbf{u})$）。

线性变换示例

让我们看一些例子来更好地理解这个概念。

示例 1：$\mathbb{R}^2$ 中的变换（旋转）

考虑一个变换 $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$，它将 $\mathbb{R}^2$ 中的每个向量绕原点逆时针旋转一个角度 $\theta$。如果 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}$，那么 $T(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} x\cos\theta - y\sin\theta \ x\sin\theta + y\cos\theta \end{pmatrix}$。

让我们检查这是否是线性变换。设 $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} x_1 \ y_1 \end{pmatrix}$ 和 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x_2 \ y_2 \end{pmatrix}$，并设 $c$ 为一个标量。

可加性： $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T\left(\begin{pmatrix} x_1 + x_2 \ y_1 + y_2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} (x_1 + x_2)\cos\theta - (y_1 + y_2)\sin\theta \ (x_1 + x_2)\sin\theta + (y_1 + y_2)\cos\theta \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} (x_1\cos\theta - y_1\sin\theta) + (x_2\cos\theta - y_2\sin\theta) \ (x_1\sin\theta + y_1\cos\theta) + (x_2\sin\theta + y_2\cos\theta) \end{pmatrix} = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$
齐次性： $T(c\mathbf{u}) = T\left(\begin{pmatrix} cx_1 \ cy_1 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} (cx_1)\cos\theta - (cy_1)\sin\theta \ (cx_1)\sin\theta + (cy_1)\cos\theta \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} c(x_1\cos\theta - y_1\sin\theta) \ c(x_1\sin\theta + y_1\cos\theta) \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} x_1\cos\theta - y_1\sin\theta \ x_1\sin\theta + y_1\cos\theta \end{pmatrix} = cT(\mathbf{u})$

因此，旋转是一个线性变换。

示例 2：$\mathbb{R}^2$ 中的变换（投影到 x 轴）

考虑 $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ 定义为 $T\left(\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x \ 0 \end{pmatrix}$。这个变换将每个向量投影到 x 轴上。您可以使用定义验证这也是一个线性变换。

示例 3：$\mathbb{R}^2$ 中的变换（平移）

考虑 $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ 定义为 $T\left(\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x + a \ y + b \end{pmatrix}$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数（不同时为零）。

让我们检查第一个性质： $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T\left(\begin{pmatrix} x_1 + x_2 \ y_1 + y_2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} (x_1 + x_2) + a \ (y_1 + y_2) + b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + a + x_2 + a \ y_1 + b + y_2 + b \end{pmatrix}$ $T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} x_1 + a \ y_1 + b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 + a \ y_2 + b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + a + x_2 + a \ y_1 + b + y_2 + b \end{pmatrix}$

这看起来正确，让我们重新检查。 $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 + a \ y_1 + y_2 + b \end{pmatrix}$ $T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} x_1 + a \ y_1 + b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 + a \ y_2 + b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 + 2a \ y_1 + y_2 + 2b \end{pmatrix}$

如果 $a \neq 0$ 或 $b \neq 0$，那么 $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) \neq T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$。此外，$T(\mathbf{0}) = T\left(\begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}$ 如果 $a$ 或 $b$ 非零。因此，平移通常不是线性变换。

示例 4：由矩阵定义的从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的变换

设 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵。变换 $T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ 定义为 $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$（其中 $\mathbf{x}$ 是一个 $n \times 1$ 列向量）是一个线性变换。这是因为矩阵乘法满足可加性和齐次性： $A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v}$ $A(c\mathbf{u}) = c(A\mathbf{u})$

示例 5：多项式的微分

设 $P_n$ 是次数最多为 $n$ 的多项式向量空间。变换 $D: P_n \rightarrow P_{n-1}$ 定义为 $D(p(x)) = p’(x)$（$p(x)$ 的导数）是一个线性变换。如果 $p(x)$ 和 $q(x)$ 是多项式，$c$ 是一个标量： $D(p(x) + q(x)) = (p(x) + q(x))’ = p’(x) + q’(x) = D(p(x)) + D(q(x))$ $D(cp(x)) = (cp(x))’ = cp’(x) = cD(p(x))$

示例 6：函数的积分

设 $C[a, b]$ 是区间 $[a, b]$ 上连续函数的向量空间。变换 $I: C[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ 定义为 $I(f) = \int_a^b f(x) dx$ 是一个线性变换。 $I(f + g) = \int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx = I(f) + I(g)$ $I(cf) = \int_a^b cf(x) dx = c \int_a^b f(x) dx = cI(f)$

线性变换的矩阵表示

线性代数的一个基本结果是，任何有限维向量空间之间的线性变换都可以用矩阵表示。

设 $V$ 是一个 $n$ 维向量空间，基为 $\mathcal{B} = {\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, …, \mathbf{b}_n}$，$W$ 是一个 $m$ 维向量空间，基为 $\mathcal{C} = {\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2, …, \mathbf{c}_m}$。设 $T: V \rightarrow W$ 是一个线性变换。

为了找到 $T$ 关于基 $\mathcal{B}$ 和 $\mathcal{C}$ 的矩阵表示（记为 $[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}$，或者当基明确时简记为 $[T]$），我们需要确定 $V$ 的基向量在 $T$ 下的像，并将这些像表示为 $W$ 的基向量的线性组合。

对于每个 $\mathbf{b}j \in \mathcal{B}$，$T(\mathbf{b}_j)$ 是 $W$ 中的一个向量，因此它可以唯一地写成 $\mathcal{C}$ 中基向量的线性组合： $T(\mathbf{b}_j) = a{1j}\mathbf{c}1 + a{2j}\mathbf{c}2 + … + a{mj}\mathbf{c}m = \sum{i=1}^{m} a_{ij}\mathbf{c}_i$

这个线性组合的系数构成了矩阵表示 $[T]{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}$ 的第 $j$ 列： $[T]{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$

如果 $\mathbf{v} \in V$ 关于基 $\mathcal{B}$ 的坐标向量为 $[\mathbf{v}]{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \end{pmatrix}$，那么 $T(\mathbf{v})$ 关于基 $\mathcal{C}$ 的坐标向量，记为 $[T(\mathbf{v})]{\mathcal{C}}$，由矩阵乘积给出： $[T(\mathbf{v})]{\mathcal{C}} = [T]{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}$

示例：矩阵表示

设 $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ 是一个线性变换，定义为 $T\left(\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x + y \ 2x - y \ 3y \end{pmatrix}$。设 $\mathbb{R}^2$ 和 $\mathbb{R}^3$ 的标准基分别为 $\mathcal{B} = {\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2} = \left{ \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} \right}$ 和 $\mathcal{C} = {\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \mathbf{f}_3} = \left{ \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} \right}$。

我们找到 $\mathbb{R}^2$ 的基向量在 $T$ 下的像： $T(\mathbf{e}_1) = T\left(\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 1 + 0 \ 2(1) - 0 \ 3(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 0 \end{pmatrix} = 1\mathbf{f}_1 + 2\mathbf{f}_2 + 0\mathbf{f}_3$ $T(\mathbf{e}_2) = T\left(\begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 + 1 \ 2(0) - 1 \ 3(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 3 \end{pmatrix} = 1\mathbf{f}_1 - 1\mathbf{f}_2 + 3\mathbf{f}_3$

$T$ 关于标准基的矩阵表示为： $[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 2 & -1 \ 0 & 3 \end{pmatrix}$

现在，取 $\mathbb{R}^2$ 中的任意向量 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}$。它关于 $\mathcal{B}$ 的坐标向量是 $[\mathbf{v}]{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}$。 $[T(\mathbf{v})]{\mathcal{C}} = [T]{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} [\mathbf{v}]{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 2 & -1 \ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + y \ 2x - y \ 3y \end{pmatrix}$ 关于 $\mathcal{C}$ 的坐标向量确实是 $\begin{pmatrix} x + y \ 2x - y \ 3y \end{pmatrix}$，这对应于我们之前定义的向量 $T(\mathbf{v})$。

线性变换的核（零空间）

线性变换 $T: V \rightarrow W$ 的核（或零空间），记为 $\text{ker}(T)$ 或 $N(T)$，是 $V$ 中所有被映射到 $W$ 中零向量的向量的集合： $\text{ker}(T) = {\mathbf{v} \in V \mid T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_W}$

核的性质：

线性变换的核始终是定义域 $V$ 的一个子空间。
- 包含零向量： $T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W$，所以 $\mathbf{0}_V \in \text{ker}(T)$。
- 对加法封闭： 如果 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \text{ker}(T)$，那么 $T(\mathbf{u}) = \mathbf{0}_W$ 且 $T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_W$。因此，$T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_W + \mathbf{0}_W = \mathbf{0}_W$，所以 $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in \text{ker}(T)$。
- 对标量乘法封闭： 如果 $\mathbf{u} \in \text{ker}(T)$ 且 $c$ 是一个标量，那么 $T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u}) = c\mathbf{0}_W = \mathbf{0}_W$，所以 $c\mathbf{u} \in \text{ker}(T)$。

示例：求核

考虑线性变换 $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ 定义为 $T\left(\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x + y \ 2x - y \ 3y \end{pmatrix}$。为了求核，我们需要解 $T\left(\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}$： $\begin{pmatrix} x + y \ 2x - y \ 3y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}$

这给出线性方程组： $x + y = 0$ $2x - y = 0$ $3y = 0$

从第三个方程，$y = 0$。将其代入第一个方程，$x + 0 = 0$，所以 $x = 0$。第二个方程也满足：$2(0) - 0 = 0$。唯一解是 $x = 0$ 和 $y = 0$。因此，$\text{ker}(T) = \left{ \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} \right}$，即 $\mathbb{R}^2$ 的零子空间。

线性变换的像（值域）

线性变换 $T: V \rightarrow W$ 的像（或值域），记为 $\text{im}(T)$ 或 $R(T)$，是 $W$ 中所有是 $V$ 中某个向量的像的向量的集合： $\text{im}(T) = {\mathbf{w} \in W \mid \mathbf{w} = T(\mathbf{v}) \text{ 对于某个 } \mathbf{v} \in V}$

像的性质：

线性变换的像始终是陪域 $W$ 的一个子空间。
- 包含零向量： $T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W$，所以 $\mathbf{0}_W \in \text{im}(T)$。
- 对加法封闭： 如果 $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2 \in \text{im}(T)$，那么存在 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in V$ 使得 $T(\mathbf{v}_1) = \mathbf{w}_1$ 和 $T(\mathbf{v}_2) = \mathbf{w}_2$。那么 $\mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 = T(\mathbf{v}_1) + T(\mathbf{v}_2) = T(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2)$。由于 $\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 \in V$，所以 $\mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 \in \text{im}(T)$。
- 对标量乘法封闭： 如果 $\mathbf{w} \in \text{im}(T)$ 且 $c$ 是一个标量，那么存在 $\mathbf{v} \in V$ 使得 $T(\mathbf{v}) = \mathbf{w}$。那么 $c\mathbf{w} = cT(\mathbf{v}) = T(c\mathbf{v})$。由于 $c\mathbf{v} \in V$，所以 $c\mathbf{w} \in \text{im}(T)$。
如果 $V$ 是有限维的，且有一组基 ${\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, …, \mathbf{b}_n}$，那么 $T$ 的像是基向量像的张成空间： $\text{im}(T) = \text{span}{T(\mathbf{b}_1), T(\mathbf{b}_2), …, T(\mathbf{b}_n)}$

示例：求像

考虑线性变换 $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ 定义为 $T\left(\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x + y \ 2x - y \ 3y \end{pmatrix}$。使用 $\mathbb{R}^2$ 的标准基 ${\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}}$，我们有： $T\left(\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 0 \end{pmatrix}$ $T\left(\begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 3 \end{pmatrix}$

$T$ 的像是这两个向量的张成空间： $\text{im}(T) = \text{span}\left{ \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 3 \end{pmatrix} \right}$ 这是 $\mathbb{R}^3$ 的一个子空间。由于这两个向量线性无关（一个不是另一个的标量倍数），该像是 $\mathbb{R}^3$ 中通过原点的平面。

矩阵表示与像之间的关系：

如果 $T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ 由 $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ 给出，其中 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，那么 $T$ 的像是矩阵 $A$ 的列空间，即 $A$ 的列向量的张成空间。

线性变换的性质：单射性和满射性

单射性（一对一）

线性变换 $T: V \rightarrow W$ 是单射（或一对一的），如果对于每个 $\mathbf{w} \in W$，至多存在一个 $\mathbf{v} \in V$ 使得 $T(\mathbf{v}) = \mathbf{w}$。等价地，如果 $T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v})$，那么 $\mathbf{u} = \mathbf{v}$。

定理： 线性变换 $T: V \rightarrow W$ 是单射的，当且仅当其核是零子空间，即 $\text{ker}(T) = {\mathbf{0}_V}$。

证明：

($\Rightarrow$) 假设 $T$ 是单射。 如果 $\mathbf{v} \in \text{ker}(T)$，那么 $T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_W$。我们也知道 $T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W$。由于 $T$ 是单射且 $T(\mathbf{v}) = T(\mathbf{0}_V)$，必须有 $\mathbf{v} = \mathbf{0}_V$。因此，$\text{ker}(T) = {\mathbf{0}_V}$。
($\Leftarrow$) 假设 $\text{ker}(T) = {\mathbf{0}_V}$。 假设对于某个 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$，有 $T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v})$。那么 $T(\mathbf{u}) - T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_W$。由线性性，$T(\mathbf{u} - \mathbf{v}) = \mathbf{0}_W$。这意味着 $\mathbf{u} - \mathbf{v} \in \text{ker}(T)$。由于 $\text{ker}(T) = {\mathbf{0}_V}$，我们有 $\mathbf{u} - \mathbf{v} = \mathbf{0}_V$，这意味着 $\mathbf{u} = \mathbf{v}$。因此，$T$ 是单射。

示例：检查单射性

满射性（映上）

线性变换 $T: V \rightarrow W$ 是满射（或映上的），如果对于每个 $\mathbf{w} \in W$，存在至少一个 $\mathbf{v} \in V$ 使得 $T(\mathbf{v}) = \mathbf{w}$。换句话说，$T$ 的像等于陪域 $W$，即 $\text{im}(T) = W$。

定理（秩-零化度定理）： 对于线性变换 $T: V \rightarrow W$，其中 $V$ 是有限维向量空间， $\text{dim}(\text{ker}(T)) + \text{dim}(\text{im}(T)) = \text{dim}(V)$ 这里，$\text{dim}(\text{ker}(T))$ 称为 $T$ 的零化度，$\text{dim}(\text{im}(T))$ 称为 $T$ 的秩。

满射性与维数之间的关系：

如果 $T: V \rightarrow W$ 是有限维向量空间之间的线性变换，那么：

如果 $\text{dim}(V) < \text{dim}(W)$，则 $T$ 不可能是满射。（根据秩-零化度定理，$\text{dim}(\text{im}(T)) \leq \text{dim}(V) < \text{dim}(W)$）。
如果 $\text{dim}(V) > \text{dim}(W)$，则 $T$ 不可能是单射（因为 $\text{dim}(\text{ker}(T)) = \text{dim}(V) - \text{dim}(\text{im}(T)) \geq \text{dim}(V) - \text{dim}(W) > 0$，所以核不仅仅是零向量）。
如果 $\text{dim}(V) = \text{dim}(W)$，则 $T$ 是单射当且仅当它是满射。（如果 $T$ 是单射，则 $\text{dim}(\text{ker}(T)) = 0$，所以 $\text{dim}(\text{im}(T)) = \text{dim}(V) = \text{dim}(W)$，意味着 $\text{im}(T) = W$，所以 $T$ 是满射。反之，如果 $T$ 是满射，则 $\text{dim}(\text{im}(T)) = \text{dim}(W) = \text{dim}(V)$，所以 $\text{dim}(\text{ker}(T)) = 0$，意味着 $T$ 是单射）。

示例：检查满射性

对于变换 $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ 定义为 $T\left(\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x + y \ 2x - y \ 3y \end{pmatrix}$，我们发现 $\text{im}(T) = \text{span}\left{ \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 3 \end{pmatrix} \right}$。像的维数（$T$ 的秩）是 2，因为这两个生成向量线性无关。定义域的维数是 $\text{dim}(\mathbb{R}^2) = 2$。根据秩-零化度定理，$\text{dim}(\text{ker}(T)) + \text{dim}(\text{im}(T)) = 2$，所以 $\text{dim}(\text{ker}(T)) + 2 = 2$，得出 $\text{dim}(\text{ker}(T)) = 0$，与我们之前的发现一致。

由于像的维数 (2) 小于陪域的维数 (3)，该像是陪域的一个真子空间，因此该变换不是满射。在 $\mathbb{R}^3$ 中存在不在 $T$ 的像中的向量。例如，$\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$ 不能表示为 $\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 0 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 3 \end{pmatrix}$ 的线性组合。

同构

线性变换 $T: V \rightarrow W$ 被称为同构，如果它既是单射又是满射。如果两个向量空间 $V$ 和 $W$ 之间存在一个同构，则称 $V$ 和 $W$ 是同构的，记为 $V \cong W$。同构的向量空间具有本质上相同的代数结构。

对于有限维向量空间，两个向量空间是同构的当且仅当它们具有相同的维数。如果 $\text{dim}(V) = \text{dim}(W) = n$，那么线性变换 $T: V \rightarrow W$ 是同构当且仅当它是单射或满射。

关键概念总结：

线性变换： 向量空间之间保持向量加法和标量乘法的函数。
矩阵表示： 将有限维向量空间之间的线性变换表示为矩阵的一种方式。
核（零空间）： 定义域中被映射到陪域中零向量的向量集合。它是定义域的一个子空间。
像（值域）： 陪域中是定义域中某个向量的像的向量集合。它是陪域的一个子空间。
单射性（一对一）： 线性变换是单射的当且仅当其核是零子空间。
满射性（映上）： 线性变换是满射的当且仅当其像等于陪域。
秩-零化度定理： 对于线性变换 $T: V \rightarrow W$ 且 $V$ 是有限维的，有 $\text{dim}(\text{ker}(T)) + \text{dim}(\text{im}(T)) = \text{dim}(V)$。
同构： 既是单射又是满射的线性变换。

这个详细的教程应该为理解线性变换提供了坚实的基础。记得练习各种例子来巩固你对这些概念的理解。祝您学习顺利！

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