线性变换的核 | AI生成和翻译
线性变换的核（kernel）是指所有被该变换映射到零向量的输入向量构成的集合。
定义：
若 \( T: V \to W \) 是两个向量空间 \( V \) 和 \( W \) 之间的线性变换，则 \( T \) 的核（或零空间）为：
\[ \ker(T) = { v \in V \mid T(v) = 0 } \]
主要性质：
- 子空间：线性变换的核始终是定义域 \( V \) 的一个子空间。
- 维度：核的维度称为该变换的零度（nullity）。
- 与单射性的关系：
- 若 \( \ker(T) = {0} \)，则 \( T \) 是单射（一一映射）。
- 若 \( \ker(T) \) 的维度大于零，则 \( T \) 不是单射。
示例：
考虑矩阵变换 \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \)，定义为：
\[ T(x, y, z) = (x + y, y + z) \]
将其表示为矩阵形式：
$$
T \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}
$$
为求核，解方程：
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix} \]
得到方程组：
\[ x + y = 0 \] \[ y + z = 0 \]
解出 \( x, y, z \)：
\[ x = -y, \quad z = -y \]
因此，核由所有形如以下的向量组成：
$$
\ker(T) = \text{span} \left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}
$$
这是 \( \mathbb{R}^3 \) 中的一个一维子空间。
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