线性变换 | AI生成和翻译
定义、示例、矩阵表示、核、像、性质（单射性、满射性）
线性变换是线性代数中的基础概念，在向量空间与矩阵之间架起了桥梁。本教程涵盖：
- 线性变换的定义
- 常见线性变换的示例
- 线性变换的矩阵表示
- 核（零空间）与像（值域）
- 性质：单射性（一对一）与满射性（满射）
1. 线性变换的定义
设 \( V \) 和 \( W \) 是域 \( \mathbb{F} \)（通常为 \( \mathbb{R} \) 或 \( \mathbb{C} \)）上的两个向量空间，线性变换（或线性映射）\( T: V \to W \) 是一个满足以下条件的函数：
- 可加性： \[ T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \quad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \]
- 齐次性（标量乘法）： \[ T(c \mathbf{v}) = c T(\mathbf{v}) \quad \forall c \in \mathbb{F}, \mathbf{v} \in V \]
核心思想：线性变换保持向量加法与标量乘法。
2. 线性变换示例
(a) 零变换
- 对所有 \( \mathbf{v} \in V \)，\( T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} \)。
(b) 恒等变换
- 对所有 \( \mathbf{v} \in V \)，\( T(\mathbf{v}) = \mathbf{v} \)。
(c) \( \mathbb{R}^2 \) 中的旋转
- 将向量旋转角度 \( \theta \)： \[ T \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} \]
(d) 微分（多项式空间）
- \( T: P_n \to P_{n-1} \)，其中 \( T(p(x)) = p’(x) \)。
(e) 矩阵乘法
- 对于固定的 \( m \times n \) 矩阵 \( A \)，\( T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) 定义为 \( T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} \)。
3. 线性变换的矩阵表示
每个线性变换 \( T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) 都可以用一个 \( m \times n \) 矩阵 \( A \) 表示，使得： \[ T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} \]
如何求矩阵 \( A \)
- 将 \( T \) 作用于 \( \mathbb{R}^n \) 的标准基向量 \( \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \)。
- \( A \) 的列即为 \( T(\mathbf{e}_1), T(\mathbf{e}_2), \dots, T(\mathbf{e}_n) \)。
示例： 设 \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) 定义为： \[ T \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + y \ x - 3y \end{pmatrix} \]
- 计算 \( T(\mathbf{e}_1) = T(1, 0) = (2, 1) \)
- 计算 \( T(\mathbf{e}_2) = T(0, 1) = (1, -3) \)
- 因此，矩阵 \( A \) 为： \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & -3 \end{pmatrix} \]
4. 核（零空间）与像（值域）
(a) 核（零空间）
\( T \) 的核是 \( V \) 中所有映射到 \( \mathbf{0} \) 的向量集合： \[ \ker(T) = { \mathbf{v} \in V \mid T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} } \]
性质：
- \( \ker(T) \) 是 \( V \) 的子空间。
- \( T \) 是单射（一对一）当且仅当 \( \ker(T) = { \mathbf{0} } \)。
示例： 对于 \( T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} \)，其中 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 6 \end{pmatrix} \)， \[ \ker(T) = \text{Span} \left{ \begin{pmatrix} -2 \ 1 \end{pmatrix} \right} \]
(b) 像（值域）
\( T \) 的像是 \( W \) 中所有输出的集合： \[ \text{Im}(T) = { T(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in V } \]
性质：
- \( \text{Im}(T) \) 是 \( W \) 的子空间。
- \( T \) 是满射（满射）当且仅当 \( \text{Im}(T) = W \)。
示例： 对于 \( T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} \)，其中 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix} \)， \[ \text{Im}(T) = \text{Span} \left{ \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \right} \]
5. 性质：单射性与满射性
(a) 单射性（一对一）
线性变换 \( T \) 是单射，如果： \[ T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v}) \implies \mathbf{u} = \mathbf{v} \] 检验方法：
- \( T \) 是单射 \( \iff \ker(T) = { \mathbf{0} } \)。
- 若 \( \dim(V) < \dim(W) \)，则 \( T \) 可能不是单射。
(b) 满射性（满射）
线性变换 \( T \) 是满射，如果： \[ \forall \mathbf{w} \in W, \exists \mathbf{v} \in V \text{ 使得 } T(\mathbf{v}) = \mathbf{w} \] 检验方法：
- \( T \) 是满射 \( \iff \text{Im}(T) = W \)。
- 若 \( \dim(V) > \dim(W) \)，则 \( T \) 可能不是满射。
(c) 秩-零化度定理
对于 \( T: V \to W \)， \[ \dim(V) = \dim(\ker(T)) + \dim(\text{Im}(T)) \]
- 秩 \( = \dim(\text{Im}(T)) \)
- 零化度 \( = \dim(\ker(T)) \)
示例： 若 \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) 满足 \( \dim(\ker(T)) = 1 \)，则 \( \dim(\text{Im}(T)) = 2 \)。
总结
| 概念 | 定义 | 关键性质 |
|---|---|---|
| 线性变换 | \( T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \) 且 \( T(c\mathbf{v}) = cT(\mathbf{v}) \) | 保持线性结构 |
| 矩阵表示 | \( T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} \)，其中 \( A \) 的列为 \( T(\mathbf{e}_i) \) | 编码变换 |
| 核 | \( \ker(T) = { \mathbf{v} \mid T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} } \) | 衡量单射性 |
| 像 | \( \text{Im}(T) = { T(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in V } \) | 衡量满射性 |
| 单射性 | \( \ker(T) = { \mathbf{0} } \) | 一对一 |
| 满射性 | \( \text{Im}(T) = W \) | 满射 |
练习题
- 求 \( T(x, y, z) = (2x - y, y + 3z) \) 的矩阵表示。
- 判断 \( T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \mathbf{x} \) 是否为单射/满射。
- 计算 \( T(x, y) = (x + y, 2x - y, x) \) 的 \( \ker(T) \) 和 \( \text{Im}(T) \)。
本教程涵盖了本科线性代数课程中通常教授的线性变换核心概念。如需进一步说明或更多示例，请告知！