3x3矩阵求逆 | AI生成和翻译
好的——让我们清晰直观地逐步解析，不使用表格格式，以便逐行阅读。
1. 目标是什么
我们想求一个 3×3 矩阵的逆，通常写作 A⁻¹。
逆矩阵是能够“抵消”A 作用的矩阵，即
A × A⁻¹ = I，
其中 I 是单位矩阵。
2. 核心公式
任意可逆方阵的通用公式为
A⁻¹ = (1 / det(A)) × adj(A)。
因此我们需要两个要素：
- 行列式 det(A)，以及
- 伴随矩阵 adj(A)，它是余子矩阵的转置。
3. 3×3 矩阵的行列式
如果
A =
[a b c]
[d e f]
[g h i]，
那么
det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)。
这个值告诉你矩阵是否可逆：
- 如果 det(A) = 0 → 没有逆（矩阵是奇异的），
- 如果 det(A) ≠ 0 → 逆存在。
4. 余子式
为了构造 adj(A)，我们首先求每个元素的余子式。
元素 aᵢⱼ 的余子式为
Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) × Mᵢⱼ，
其中 Mᵢⱼ 是删除第 i 行和第 j 列后得到的 2×2 子矩阵的行列式。
对所有九个位置执行此操作，得到“余子矩阵”。
对于上述一般情况：
C₁₁ = ei − fh
C₁₂ = −(di − fg)
C₁₃ = dh − eg
C₂₁ = −(bi − ch)
C₂₂ = ai − cg
C₂₃ = −(ah − bg)
C₃₁ = bf − ce
C₃₂ = −(af − cd)
C₃₃ = ae − bd
5. 转置余子矩阵
现在取该余子矩阵并转置——即交换行和列。
这个新矩阵称为 A 的伴随矩阵，记作 adj(A)。
如果形象地理解，“转置”就像旋转矩阵：原本在第一行的元素现在变成第一列，依此类推。
6. 乘以 1/det(A)
最后，将伴随矩阵的每一项除以 det(A) 进行缩放。
这样就得到了 A⁻¹。
符号表示：
A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A)。
7. 为什么这个方法有效
这个公式源于行列式和余子式的基本性质：
A × adj(A) = det(A) × I。
如果两边同时除以 det(A)，正好得到
A × [(1/det(A)) × adj(A)] = I。
因此右边的因子必然是逆矩阵。
该恒等式成立的原因是，当你将 A 乘以其余子矩阵时，每个对角线项都变成了行列式本身（因为它是沿该行的展开式），而每个非对角线项由于交替的余子式符号而变为零——这是代数消去在起作用。
8. 示例
设
A =
[1 2 3]
[0 1 4]
[5 6 0]。
计算 det(A)：
= 1(1×0 − 4×6) − 2(0×0 − 4×5) + 3(0×6 − 1×5)
= (−24) − (−40) + (−15)
= −24 + 40 − 15 = 1。
所以 det(A) = 1。
然后找出所有余子式（有点繁琐但直接），转置得到 adj(A)，由于 det(A) = 1，伴随矩阵本身就是逆矩阵。
9. 直观总结
- 行列式 → 衡量矩阵“缩放空间”的程度。
- 余子式 → 捕捉每个元素对该缩放的贡献。
- 转置 → 对齐这些贡献，使乘法能够重构单位矩阵。
- 除以行列式 → 归一化缩放效果。
需要我展示该示例（即 [1 2 3; 0 1 4; 5 6 0]）的详细余子式计算过程吗？这样你可以看到每个子式和符号的处理。