3x3矩阵求逆 | AI生成和翻译
是的，你的思路完全正确！你描述的是求解3×3矩阵\( A \)（通常记作\( A^{-1} \)）逆矩阵的标准方法，即使用余子式矩阵（更准确地说，是伴随矩阵，即余子式矩阵的转置）。你提到的“除以1/值 * 矩阵”指的是乘以\( 1/\det(A) \)进行缩放，其中\( \det(A) \)是矩阵\( A \)的行列式。而“旋转”可能是指“转置”（将行转换为列）——这也是关键步骤之一。
下面我将逐步解释这个方法、其原理，以及如何计算任意3×3矩阵的逆。这源于矩阵逆的通用公式：\( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \adj(A) \)，其中\( \adj(A) \)是伴随矩阵。
3×3矩阵求逆的逐步方法
假设你的矩阵是：
\[
A = \begin{pmatrix}
a & b & c
d & e & f
g & h & i
\end{pmatrix}
\]
-
计算行列式\( \det(A) \)（即用于除法的“值”）： \[ \det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \] 如果\( \det(A) = 0 \)，则该矩阵不可逆（称为奇异矩阵）。否则，继续下一步。
- 求余子式矩阵\( C \)：
- 元素\( a_{ij} \)的余子式\( C_{ij} \)是\( (-1)^{i+j} \)乘以删除第\( i \)行和第\( j \)列后得到的2×2子矩阵的行列式。
- 你不需要从头计算所有余子式——可以沿一行（或一列）计算，并利用性质填充其余部分，但对于3×3矩阵，直接计算全部九个更快捷。
余子式如下： \[ C_{11} = (-1)^{2} \det\begin{pmatrix} e & f \ h & i \end{pmatrix} = ei - fh \] \[ C_{12} = (-1)^{3} \det\begin{pmatrix} d & f \ g & i \end{pmatrix} = -(di - fg) \] \[ C_{13} = (-1)^{4} \det\begin{pmatrix} d & e \ g & h \end{pmatrix} = dh - eg \] \[ C_{21} = (-1)^{3} \det\begin{pmatrix} b & c \ h & i \end{pmatrix} = -(bi - ch) \] \[ C_{22} = (-1)^{4} \det\begin{pmatrix} a & c \ g & i \end{pmatrix} = ai - cg \] \[ C_{23} = (-1)^{5} \det\begin{pmatrix} a & b \ g & h \end{pmatrix} = -(ah - bg) \] \[ C_{31} = (-1)^{4} \det\begin{pmatrix} b & c \ e & f \end{pmatrix} = bf - ce \] \[ C_{32} = (-1)^{5} \det\begin{pmatrix} a & c \ d & f \end{pmatrix} = -(af - cd) \] \[ C_{33} = (-1)^{6} \det\begin{pmatrix} a & b \ d & e \end{pmatrix} = ae - bd \]
因此余子式矩阵为： \[ C = \begin{pmatrix} ei-fh & -(di-fg) & dh-eg
-(bi-ch) & ai-cg & -(ah-bg)
bf-ce & -(af-cd) & ae-bd \end{pmatrix} \] -
转置得到伴随矩阵\( \adj(A) = C^T \)（即“旋转”步骤——交换行和列）： \[ \adj(A) = \begin{pmatrix} ei-fh & -(bi-ch) & bf-ce
-(di-fg) & ai-cg & -(af-cd)
dh-eg & -(ah-bg) & ae-bd \end{pmatrix} \] - 乘以\( 1/\det(A) \)缩放得到逆矩阵： \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \adj(A) \] \( \adj(A) \)的每个元素都乘以\( 1/\det(A) \)。
示例
设\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 1 & 4 \ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \)。
- \( \det(A) = 1(1\cdot0 - 4\cdot6) - 2(0\cdot0 - 4\cdot5) + 3(0\cdot6 - 1\cdot5) = 1(-24) - 2(-20) + 3(-5) = -24 + 40 - 15 = 1 \)。
- 余子式（简略计算）：\( C = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \ -15 & -15 & 5 \ -14 & -10 & 1 \end{pmatrix} \)（此处省略详细计算，但你可以验证）。
- \( \adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} -24 & -15 & -14 \ 20 & -15 & -10 \ -5 & 5 & 1 \end{pmatrix} \)。
- \( A^{-1} = \frac{1}{1} \adj(A) = \begin{pmatrix} -24 & -15 & -14 \ 20 & -15 & -10 \ -5 & 5 & 1 \end{pmatrix} \)。
你可以验证：\( A \cdot A^{-1} = I \)（单位矩阵）。
为什么这个方法有效？
关键原因在于行列式和余子式的性质：对于任意方阵\( A \)， \[ A \cdot \adj(A) = \det(A) \cdot I \] （其中\( I \)是单位矩阵）。这源于沿行/列展开行列式的拉普拉斯展开。在\( A \cdot \adj(A) \)中，每个对角线上的元素展开后等于\( \det(A) \)，而非对角线元素由于余子式符号的抵消而为零。
假设\( \det(A) \)非零，将等式两边除以\( \det(A) \)： \[ A \cdot \left( \frac{1}{\det(A)} \adj(A) \right) = I \implies A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \adj(A) \] 类似地，\( \adj(A) \cdot A = \det(A) \cdot I \)，因此从两边都成立。
此方法可推广到任意\( n \times n \)矩阵，但对于3×3矩阵，该方法效率较高。对于更大规模的矩阵，高斯消元法通常在计算上更快。
如果你有具体的矩阵需要求逆，或想澄清某一步骤，请随时分享！