矩阵余子式、代数余子式与伴随矩阵指南 | AI生成和翻译
以下是一种清晰梳理余子式、代数余子式、代数余子式矩阵和伴随矩阵的方法，助您不再混淆。
1. 余子式
对于矩阵 (A) 中位于位置 ((i,j)) 的元素：
- 余子式 (M_{ij}) = 删除第 (i) 行和第 (j) 列后所得矩阵的行列式。
- 不涉及符号变化。
- 不涉及元素 (a_{ij})。
即： [ M_{ij} = \det(A \text{ 删除第 } i \text{ 行和第 } j \text{ 列后}) ]
2. 代数余子式
对于同一元素：
- 代数余子式 (C_{ij}) = 符号因子 ((-1)^{i+j}) 乘以余子式。
即： [ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} ]
此处仍未乘以原矩阵元素 (a_{ij})。 乘以 (a_{ij}) 仅出现在行列式的拉普拉斯展开中，而非代数余子式的定义中。
3. 代数余子式矩阵
将所有代数余子式组成一个矩阵：
[
\text{Cof}(A) =
\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & \cdots
C_{21} & C_{22} & \cdots
\vdots & \vdots
\end{bmatrix}
]
此处无需转置。只需将代数余子式按原始位置列出。
4. 伴随矩阵
伴随矩阵 就是代数余子式矩阵的转置：
[ \operatorname{adj}(A) = \text{Cof}(A)^\mathsf{T} ]
这是唯一的区别：将行和列互换。
5. 何时需要乘以 (a_{ij})？
仅在按行或列展开行列式时才需要乘以 (a_{ij})：
[ \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij} ]
或
[ \det(A) = \sum_{i=1}^n a_{ij} C_{ij} ]
这并非代数余子式定义的一部分。
6. 快速记忆要点（无表格）
- 删除第 (i) 行、第 (j) 列 → 余子式。
- 乘以符号因子 → 代数余子式。
- 收集所有代数余子式 → 代数余子式矩阵。
- 将其转置 → 伴随矩阵。
- 仅在计算行列式时才乘以 (a_{ij})。
如果您需要，我也可以提供一个具体的 3×3 示例，同时展示这四种概念。