NumPy线性代数速查指南 | AI生成和翻译
作为你专注于工程实践的辅导指南，本文在先前显式索引公式的基础上，通过整合实用的NumPy演示（使用import numpy as np和np.linalg）进行扩展。所有数学内容仍可通过索引验证（例如，\( A = [a_{ij}]{i=1}^2, j=1^2 \)）；代码使用显式数组以确保清晰度。输出结果均来自已验证的执行（例如，对于\( A = \begin{pmatrix} a{11}=1 & a_{12}=2 \ a_{21}=3 & a_{22}=4 \end{pmatrix} \)，\( B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{pmatrix} \)）。在备考时，可利用这些进行快速计算——重点在于对照公式解读输出结果。
1. 矩阵运算
数学公式如前：\( (AB){ij} = \sum{k=1}^2 a_{ik} b_{kj} \)，等等。
NumPy 演示：
import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]], dtype=float)
B = np.array([[5, 6], [7, 8]], dtype=float)
- 加法：
A + B得到 \( \begin{pmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{pmatrix} \)（逐元素 \( a_{ij} + b_{ij} \)）。 - 标量乘法：
2 * A得到 \( \begin{pmatrix} 2 & 4 \ 6 & 8 \end{pmatrix} \)（\( c a_{ij} \)）。 - 矩阵乘法：
A @ B（或np.dot(A, B)）得到 \( \begin{pmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \end{pmatrix} \)（验证：第1行第1列求和 \( 1\cdot5 + 2\cdot7 = 19 \)）。注意不可交换性：np.allclose(A @ B, B @ A)为False。 - 转置：
A.T得到 \( \begin{pmatrix} 1 & 3 \ 2 & 4 \end{pmatrix} \)（\( (A^T){ij} = a{ji} \)）。 - 逆矩阵：
np.linalg.inv(A)得到 \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \)（验证：A @ inv_A≈ \( I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \)，存在微小的浮点数误差 ~1e-16）。
2. 行列式
数学公式：\( \det A = \sum_{j=1}^2 a_{1j} C_{1j} \)，\( C_{1j} = (-1)^{1+j} \det(M_{1j}) \)（例如，\( M_{11} = [4] \)，所以 \( C_{11} = 4 \)；完整的 \( \det A = 1\cdot4 - 2\cdot3 = -2 \)）。
NumPy 演示（续上）：
np.linalg.det(A): -2.0（与公式匹配；浮点精度为 -2.0000000000000004）。- 乘积：
np.linalg.det(A @ B)= 4.0；det_A * np.linalg.det(B)≈ 4.0（验证 \( \det(AB) = \det A \cdot \det B \)）。 - 转置：
np.linalg.det(A.T)= -2.0（验证 \( \det(A^T) = \det A \)）。
关于伴随矩阵/逆矩阵的联系：逆矩阵在分母中使用行列式，如公式 \( A^{-1} = \frac{1}{\det A} \adj A \) 所示。
3. 线性方程组与高斯消元法
数学公式：增广矩阵 \( [A | b] \)，其中 \( b = [b_i]_{i=1}^2 = [5, 11]^T \)；在化为行阶梯形式后通过回代求解。
NumPy 演示：
np.linalg.solve(A, b)得到 [1. 2.]（精确解：\( x_1 = \frac{\det A_1}{\det A} \)，其中 \( A_1 \) 是将第1列替换为 b 的矩阵，行列式 = -2 相同；验证了克莱姆法则）。- 检查：
A @ x= [5. 11.]（残差为 0）。 - 秩：
np.linalg.matrix_rank(A)= 2（满秩；对于奇异矩阵，秩 < 2 意味着无穷多解或无解）。
NumPy 的 solve 在内部执行类似 LU 分解的运算（无需显式编写高斯消元代码；如需自定义，可使用 scipy.linalg.lu，但此处建议坚持使用 np.linalg）。
4. 向量空间
数学公式：秩 A = 主元数量 = Col(A) 的维数；零度 = 2 - 秩 A。
NumPy 演示：
- 秩如上所述：2。
- 通过 SVD 估计零度：
U, S, Vt = np.linalg.svd(A)；计数大于 1e-10 的奇异值：2，所以零度 = 2 - 2 = 0（Nul(A) = {0}）。对于基，零空间向量来自具有小奇异值 S 的 Vt 行。
5. 线性变换
数学公式：T(x)i = \( \sum_j a{ij} x_j \)；矩阵表示是 A。
NumPy 关联：与矩阵运算相同；例如，T_x = A @ x 应用了变换（向量化）。
6. 特征值
数学公式：求解 det(A - λ I) = 0，(A - λ I){ij} = a{ij} - λ δ_{ij}；然后求解 (A - λ I) v = 0 得到 v_j。
NumPy 演示：
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(A)：特征值 eigvals ≈ [-0.372, 5.372]（方程 λ² - tr(A)λ + det A = λ² - 5λ -2 =0 的根）。- 特征向量列：例如，col0 ≈ [-0.825, 0.566]^T 对应 λ≈-0.372。
- 检查：
A @ eigvecs[:,0]≈ λ eigvecs[:,0]（缩放验证：A @ eigvecs[:,0] / eigvals[0]匹配 eigvecs[:,0]）。
对于可对角化：满秩特征向量（det ≠0）。
7. 内积与正交化
数学公式：<u,v> = \( \sum_i u_i v_i \)；投影 proj = (<v,w>/<w,w>) w（对 w_i 进行标量乘法）。
NumPy 演示（u=[1,2], v=[3,4]）：
np.dot(u, v)= 11（或u @ v）。np.linalg.norm(u)≈ 2.236（√<u,u>）。
格拉姆-施密特正交化：对矩阵 V（列作为基向量）使用 np.linalg.qr(V)；Q 是标准正交基。
- 示例 V = \( \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \ 1 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \)（列 v^{(1)}=[3,1,0]^T 等）。
ortho = np.linalg.qr(V)[0]得到 ≈ \( \begin{pmatrix} -0.949 & -0.316 & 0 \ -0.316 & 0.949 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)（符号翻转无妨）。- 检查：
np.allclose(ortho.T @ ortho, np.eye(3))= True（δ_{ij}）。
二次型：u @ A @ u = 27.0（x^T A x，其中 x_i = u_i；对于正定，所有特征值 >0——此处特征值符号混合）。
快速验证提示：对于浮点数，始终使用 np.allclose；对于小的 n，手动进行行化简，然后与 solve 或 eig 的结果匹配。练习：代入你自己的 3×3 矩阵。
NumPy linalg 文档
NumPy 中的线性代数 - SciPy 讲义笔记