对特征多项式的过高评价批判 | AI生成和翻译
问题：关于线性代数中特征多项式的一些非主流或有争议的观点是什么？
答案：
以下是一些关于特征多项式的真正非主流（或至少是少数人的）观点，许多数学家和教育工作者默默坚持但强烈认同这些观点，即使他们不总是在课堂或教科书中大声说出来：
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在线性代数入门课程中，特征多项式被过分强调了。 对于大多数实际计算（特征值、可对角化性检查、Jordan 标准型等），特征多项式是最糟糕的工具之一：它数值不稳定、度数高，并且几乎不提供几何洞察。然而，几乎所有教科书都因为它历史惯性而花费章节介绍它。
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行列式定义 det(A − λI) 在教学上很糟糕。 大多数学生只记得“det(A − λI) = 0 给出特征值”，但很少有人真正理解为什么。迹定义版本（以特征值为根的首一多项式）或“使得 p(A) = 0 的最小多项式 p 的次数至多为 n”在概念上更清晰，但几乎从未首先引入。
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特征多项式对于证明深层定理基本上是无用的。 像 Cayley–Hamilton 定理、谱定理、Jordan 标准型、Perron–Frobenius 定理等主要结果，通常在没有显式写出完整特征多项式的情况下被证明。多项式本身是一种钝器；算子理论或表示理论工具更锐利。
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称之为“特征”是一个历史上的误称。 它在相似变换下是不变的，没错，但许多其他量也是如此（迹、行列式、带重数的特征值、Jordan 块结构直到置换等）。最小多项式通常比特征多项式更能“特征化”算子。
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对于随机矩阵或数值线性代数，没有人会正经地计算特征多项式。 真正的算法（QR、Arnoldi、Jacobi–Davidson 等）从不形成 det(A − λI)。你唯一能看到它的地方是在精确符号计算或那些不惜一切代价想要封闭形式表达式的理论物理论文中。
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定理“相似矩阵有相同的特征多项式”被过分吹捧了。 这是真的，但反过来却大错特错，学生们常常留下潜意识的印象，认为具有相同特征多项式的两个矩阵“几乎相同”，而它们实际上可以有完全不同的 Jordan 标准型。
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在无限维空间中，这个概念基本上会瓦解，因此早期过于专注于它会给学生后续泛函分析带来错误的直觉。
简而言之，许多在职数学家将特征多项式视为一个19世纪的遗物，它之所以迟迟不灭，是因为它易于定义并提供了一种快速引入特征值的方法，而不是因为它真正适用于任何严肃的事情。
（你仍然会在每本教科书中找到它，因为“我们都是这样学的”，但私下在会议上打听一下，你会听到很多翻白眼的抱怨。）