极坐标系 | AI生成和翻译
极坐标系是一种二维坐标系，平面上的每个点由相对于参考点的距离和相对于参考方向的角度来确定。这与使用x和y坐标定义点的笛卡尔坐标系形成对比。
在极坐标中，点表示为\((r, \theta)\)，其中：
- \(r\) 是到原点（参考点）的径向距离
- \(\theta\) 是角坐标，通常以弧度表示，从x轴正方向（参考方向）开始测量
极坐标示例
- 简单点：
- 笛卡尔坐标：\((1, 0)\)
- 极坐标：\((1, 0)\)
- 说明：该点位于x轴正方向，距离原点1个单位
- 平面中的点：
- 笛卡尔坐标：\((0, 1)\)
- 极坐标：\((1, \frac{\pi}{2})\)
- 说明：该点距离原点1个单位，与x轴正方向成\(\frac{\pi}{2}\)弧度（90度）角
- 第二象限的点：
- 笛卡尔坐标：\((-1, 1)\)
- 极坐标：\((\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4})\)
- 说明：该点距离原点\(\sqrt{2}\)个单位，与x轴正方向成\(\frac{3\pi}{4}\)弧度（135度）角
- 第三象限的点：
- 笛卡尔坐标：\((-1, -1)\)
- 极坐标：\((\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4})\)
- 说明：该点距离原点\(\sqrt{2}\)个单位，与x轴正方向成\(\frac{5\pi}{4}\)弧度（225度）角
- 第四象限的点：
- 笛卡尔坐标：\((1, -1)\)
- 极坐标：\((\sqrt{2}, \frac{7\pi}{4})\)
- 说明：该点距离原点\(\sqrt{2}\)个单位，与x轴正方向成\(\frac{7\pi}{4}\)弧度（315度）角
笛卡尔坐标与极坐标的转换
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从笛卡尔坐标转换为极坐标： \[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \] \[ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \]
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从极坐标转换为笛卡尔坐标： \[ x = r \cdot \cos(\theta) \] \[ y = r \cdot \sin(\theta) \]
极坐标在涉及圆形对称性的情况下特别有用，例如在涉及旋转或圆周运动的物理和工程问题中。