二次型 | AI生成和翻译
在线性代数中，二次型是一个函数 $Q: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$，可以表示为：
$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$
其中：
- $\mathbf{x}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的列向量： $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \end{bmatrix}$
- $A$ 是一个 $n \times n$ 的实对称矩阵。该矩阵称为二次型的矩阵。
- $\mathbf{x}^T$ 是 $\mathbf{x}$ 的转置，即行向量。
简单来说：
二次型是 $n$ 个变量的二次齐次多项式。”齐次”意味着多项式中的每一项的总次数均为二。
例如，在两个变量（$n=2$）的情况下，二次型的形式为： $Q(x_1, x_2) = a x_1^2 + b x_1 x_2 + c x_2^2$
这可以写成矩阵形式： $Q(x_1, x_2) = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b/2 \ b/2 & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix}$
注意，矩阵 $A$ 的非对角线元素是交叉项（$x_1 x_2$）系数的一半。我们使用对称矩阵 $A$，是因为对于任何矩阵 $B$，$\mathbf{x}^T B \mathbf{x} = \mathbf{x}^T \left( \frac{B + B^T}{2} \right) \mathbf{x}$，且 $\frac{B + B^T}{2}$ 总是一个对称矩阵。使用对称形式简化了与二次型相关的许多性质和定理。
二次型的关键方面：
- 矩阵表示： 每个二次型都可以唯一地用一个对称矩阵表示。
- 求值： 二次型 $Q(\mathbf{x})$ 的值是通过矩阵乘法 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ 得到的一个标量。
- 分类： 二次型可以根据其对非零向量 $\mathbf{x}$ 的取值进行分类：
- 正定： 对所有 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，$Q(\mathbf{x}) > 0$。当且仅当 $A$ 的所有特征值为正时成立。
- 半正定： 对所有 $\mathbf{x}$，$Q(\mathbf{x}) \ge 0$。当且仅当 $A$ 的所有特征值为非负时成立。
- 负定： 对所有 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，$Q(\mathbf{x}) < 0$。当且仅当 $A$ 的所有特征值为负时成立。
- 半负定： 对所有 $\mathbf{x}$，$Q(\mathbf{x}) \le 0$。当且仅当 $A$ 的所有特征值为非正时成立。
- 不定： $Q(\mathbf{x})$ 同时取正值和负值。当且仅当 $A$ 同时具有正负特征值时成立。
- 变量替换： 通过进行线性变量替换 $\mathbf{x} = P\mathbf{y}$，其中 $P$ 是一个可逆矩阵，可以将二次型转化为关于 $\mathbf{y}$ 的新二次型，其矩阵表示为 $P^T A P$。一个关键目标通常是找到一个正交变换（其中 $P$ 是正交矩阵）来对角化矩阵 $A$，从而得到一个没有交叉项（只有平方项）的二次型。这与主轴定理相关。
二次型的应用：
二次型出现在数学、物理、统计和工程的各个领域，包括：
- 圆锥曲线和二次曲面： 这些几何对象的方程可以使用二次型表示。
- 优化： 确定多变量函数临界点的性质通常涉及分析 Hessian 矩阵的二次型。
- 稳定性分析： 在动力系统中，二次型（如李雅普诺夫函数）用于分析平衡点的稳定性。
- 统计学： 协方差矩阵定义的二次型描述了数据的散布和相关性。
- 力学和物理学： 某些系统中的动能和势能可以表示为二次型。
总之，二次型是线性代数中的一个基本概念，它提供了一种使用向量和矩阵语言来表达和分析齐次二次多项式的方法。其基于定性的矩阵表示和分类对于理解其性质和应用至关重要。