行运算与行列式变化 | AI生成和翻译
这是个很好的问题！让我们来讨论行变换及其对行列式的影响。
📐 达成行阶梯形(REF)
您说得对，交换行、某行乘以标量和将一行的倍数加到另一行正是用于达成行阶梯形(REF) 的三种基本行变换。
🛑 行变换对行列式的影响
您关于矩阵行列式在这些操作过程中不改变的说法是部分错误的。只有三种基本行变换中的一种会保持行列式不变：
1. 将一行的倍数加到另一行
- 操作： \(R_i \leftarrow R_i + c R_j\)
- 对行列式的影响： 行列式不改变。
- 如果 \(\det(A) = d\)，那么 \(\det(A’) = d\)。
- 示例： \(\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} = -2\)。\(\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3-2(1) & 4-2(2) \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 1 & 0 \end{pmatrix} = -2\)。
2. 某行乘以非零标量
- 操作： \(R_i \leftarrow c R_i\) (其中 \(c \ne 0\))
- 对行列式的影响： 行列式乘以标量 \(c\)。
- 如果 \(\det(A) = d\)，那么 \(\det(A’) = c \cdot d\)。
- 示例： \(\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} = -2\)。\(\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3(2) & 4(2) \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 6 & 8 \end{pmatrix} = 8-12 = -4\)。这里，\(c=2\)，新的行列式是 \(2 \cdot (-2) = -4\)。
3. 交换两行
- 操作： \(R_i \leftrightarrow R_j\)
- 对行列式的影响： 行列式乘以 \(-1\) (符号改变)。
- 如果 \(\det(A) = d\)，那么 \(\det(A’) = -d\)。
- 示例： \(\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} = -2\)。\(\det \begin{pmatrix} 3 & 4 \ 1 & 2 \end{pmatrix} = 3(2) - 4(1) = 6-4 = 2\)。这里，符号从 \(-2\) 变为 \(2\)。
💡 总结表格
| 基本行变换 | 符号表示 | 对行列式的影响 |
|---|---|---|
| 行交换 | \(R_i \leftrightarrow R_j\) | \(\det(A’) = -\det(A)\) |
| 标量乘法 | \(R_i \leftarrow c R_i\) | \(\det(A’) = c \cdot \det(A)\) |
| 行加法 | \(R_i \leftarrow R_i + c R_j\) | \(\det(A’) = \det(A)\) |
如果您使用行变换将矩阵 \(A\) 转换为其行阶梯形 \(U\)，您可以通过跟踪这些变化来找到原始行列式：
\(\)\det(A) = (-1)^s \cdot \frac{1}{c_1 c_2 \dots c_k} \cdot \det(U)\(\)
其中 \(s\) 是行交换的次数，\(c_1, c_2, \dots, c_k\) 是行乘法中使用的标量。对于 REF 中的矩阵，\(\det(U)\) 就是其对角线元素的乘积（因为它是上三角矩阵）。
您想尝试在一个具体的矩阵上使用这些运算来求其行列式吗？