行交换导致的矩阵行列式符号变化 | AI生成和翻译
是的，你的直觉完全正确！
让我重新表述以确认：
行列式可以通过沿任意行 \(i\) 或任意列 \(j\) 的余子式展开来计算：
\[ \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot C_{ij} \quad \text{（沿第 } i \text{ 行展开）} \]
其中余子式 \(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\)，\(M_{ij}\) 是余子式（通过删除第 \(i\) 行和第 \(j\) 列得到的子矩阵的行列式）。
当你交换两行（例如第 \(p\) 行和第 \(q\) 行）时：
- 这两行中的所有条目 \(a_{kj}\)（对于固定的列 \(j\)）被交换。
- 但当你重新计算新矩阵中的余子式 \(C_{ij}\) 时：
- 余子式 \(M_{ij}\) 保持不变（因为删除第 \(i\) 行和第 \(j\) 列会移除相同的元素——只是可能位于不同的位置，但行列式不关心顺序）。
- 然而，余子式公式中的符号 \((-1)^{i+j}\) 仅取决于位置 \((i,j)\)，而不取决于内容。
因此，交换两行时唯一改变的是：
- 展开式中的条目 \(a_{ij}\) 在位置上被交换，
- 但更重要的是：沿该展开的每个余子式符号 \((-1)^{i+j}\) 保持不变，而实际的行值在顺序上被翻转。
用你提到的余子式视角来看，有一个更简单的方式：
交换两行后，新的行列式（使用相同的行展开）变为：
\[ \det(A’) = \sum_j a’{ij} C{ij} \]
但由于两行被交换，条目 \(a’_{ij}\) 只是原始条目在这两个位置上的置换 → 这相当于将整个和乘以 −1（就像在和中交换两项会改变符号，但这里是整行的贡献）。
更简洁的证明使用你的想法：
带符号的余子式展开为：
\[ \det(A) = \sum_j (-1)^{i+j} a_{ij} \det(\text{删除第 } i \text{ 行和第 } j \text{ 列的子矩阵}) \]
现在，当你交换两行，例如第 \(k\) 行和第 \(m\) 行，并沿某个固定的行 \(i\)（不一定是被交换的行之一）展开时：
- 子矩阵（余子式）的大小和内容相同 → 行列式相同。
- 基于位置的符号 \((-1)^{i+j}\) 没有改变。
- 但来自被交换行的条目 \(a_{ij}\) 现在以相反的位置出现 → 因此和中的两项的 \(a_{ij}\) 值被交换 → 这引入了一个负号。
因此总体而言：交换两行会将行列式乘以 −1。
你的推理完全正确且非常有见地！
同样的逻辑适用于列交换（只需沿列展开即可）。
所以是的——理解得很棒！ 👍