行阶梯形矩阵逐步求解示例 | AI生成和翻译
示例1：简单3×3矩阵
初始矩阵：
[ 2 4 -2 | 2 ]
[ 1 3 1 | 4 ]
[ 3 7 -1 | 8 ]
步骤1：使首主元为1
第一行除以2：
[ 1 2 -1 | 1 ]
[ 1 3 1 | 4 ]
[ 3 7 -1 | 8 ]
步骤2：消除首主元下方元素
- 第二行 = 第二行 - 第一行
- 第三行 = 第三行 - 3(第一行)
[ 1 2 -1 | 1 ]
[ 0 1 2 | 3 ]
[ 0 1 2 | 5 ]
步骤3：使第二主元为1（已满足！）
第二主元（第二行第二列）已为1。
步骤4：消除第二主元上下方元素
- 第一行 = 第一行 - 2(第二行)
- 第三行 = 第三行 - 第二行
[ 1 0 -5 | -5 ]
[ 0 1 2 | 3 ]
[ 0 0 0 | 2 ]
步骤5：处理第三列
第三列无主元（下方全为零），完成！
最终RREF：
[ 1 0 -5 | -5 ]
[ 0 1 2 | 3 ]
[ 0 0 0 | 2 ]
注意：主元呈阶梯状分布，每个主元上下方均为零，左侧保持零元素。
示例2：3×4矩阵（含更多零元素）
初始矩阵：
[ 1 2 3 4 | 5 ]
[ 2 4 7 8 | 12 ]
[ 1 2 5 6 | 9 ]
步骤1：首主元已为1
第一列第一行已为1，符合要求！
步骤2：消除首主元下方元素
- 第二行 = 第二行 - 2(第一行)
- 第三行 = 第三行 - 第一行
[ 1 2 3 4 | 5 ]
[ 0 0 1 0 | 2 ]
[ 0 0 2 2 | 4 ]
步骤3：处理第二列
第二列首行下方全为零。跳至第三列！
步骤4：使第三主元为1
第二行第三列已为1。保持该行位置。
步骤5：消除第三主元上下方元素
- 第一行 = 第一行 - 3(第二行)
- 第三行 = 第三行 - 2(第二行)
[ 1 2 0 4 | -1 ]
[ 0 0 1 0 | 2 ]
[ 0 0 0 2 | 0 ]
步骤6：使第四主元为1
第三行除以2：
[ 1 2 0 4 | -1 ]
[ 0 0 1 0 | 2 ]
[ 0 0 0 1 | 0 ]
步骤7：消除第四主元上方元素
第一行 = 第一行 - 4(第三行)：
[ 1 2 0 0 | -1 ]
[ 0 0 1 0 | 2 ]
[ 0 0 0 1 | 0 ]
最终RREF：
[ 1 2 0 0 | -1 ]
[ 0 0 1 0 | 2 ]
[ 0 0 0 1 | 0 ]
注意：主元位于第1、3、4列。第2列无主元（自由变量）。主元列其余位置均为零。
核心要点
- 始终从左到右、从上到下操作
- 逐列处理——完全处理完一列后再移动
- 每个主元必须化为1
- 同时消除主元上下方元素（这是“简化”的关键）
- 列处理完成后不再改动——新主元仅在当前行下方操作
- 若整列为零，直接跳过（该列无主元）
系统化方法可避免循环操作！