求解Ax等于零的主元变量 | AI生成和翻译
本视频是 MIT《18.06 线性代数》课程（2005年春季） 的 第7讲，由 Gilbert Strang 教授 授课。主题为：
“求解 \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \)：主元变量与特解”
本讲核心概念：
- 齐次方程组 (\( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \))
- 右侧为零向量的线性方程组
- 始终存在零解 \( \mathbf{x} = \mathbf{0} \)
- 若存在自由变量，则存在无穷多解
- 主元变量 vs 自由变量
- 主元变量：对应矩阵行最简阶梯形（RREF） 中含主元（非零首项）的列
- 自由变量：对应不含主元的列（可任意取值）
- 自由变量数量 = 列数 − 矩阵的秩
- 特解（零空间基）
- 对每个自由变量取1，其余自由变量取0，求解主元变量
- 这些解构成 \( A \) 的零空间基（\( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) 的所有解）
- 零空间是 \( \mathbb{R}^n \) 的子空间
- 秩与零空间
- 若 \( A \) 是 \( m \times n \) 矩阵且秩为 \( r \)：
- 主元变量数 = \( r \)
- 自由变量数 = \( n - r \)
- 零空间维度 = \( n - r \)
- 若 \( A \) 是 \( m \times n \) 矩阵且秩为 \( r \)：
- 实例演算
- Strang 通过具体示例（通常为秩小于列数的矩阵）演示：
- 求行最简阶梯形
- 识别主元变量与自由变量
- 构造特解
- 将通解表示为特解的线性组合
- Strang 通过具体示例（通常为秩小于列数的矩阵）演示：
- 几何意义
- 零空间表示所有经 \( A \) 变换后坍缩为零的向量 \( \mathbf{x} \)
- 对于秩为2的3×3矩阵，零空间是通过原点的直线
本讲重要性：
- 引入零空间（线性代数核心子空间）
- 建立行化简（消元法） 与解结构的联系
- 为后续理解线性无关、基与维度奠定基础
- 对求解方程组、理解线性变换及微分方程、机器学习等应用至关重要
延伸学习资源：
- 完整课程资料：MIT OCW 18.06
- 教材：Strang 所著《线性代数导论》（第二章涵盖此内容）
- 后续课程：下讲将探讨求解 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)（非齐次方程组）与列空间
一句话总结：
本讲通过识别主元/自由变量并利用特解构建零空间基，完整阐述了求解 \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) 的方法体系。