布尔函数标准操作流程详解 | AI生成和翻译
让我们厘清”积之和”（Sum of Products，SOP）的概念，并解答您关于函数 \( F(A, B, C) \) 的 SOP 表达式为何是 \( F = A \cdot B’ \cdot C + A’ \cdot B \cdot C \) 的疑问——当函数在输入组合 \((A=1, B=0, C=1)\) 和 \((A=0, B=1, C=1)\) 时输出为 1，以及为何 \( F \neq 2 \)。
理解 SOP（积之和）
- SOP 是表达布尔函数输出为 1 的标准形式，由多个乘积项（逻辑与）的和（逻辑或）构成。
- 每个乘积项对应一个最小项，即能使函数输出为 1 的变量（包括其补码）组合。
- 对于函数 \( F(A, B, C) \)，最小项是所有输入变量（或其补码）的乘积，在特定输入组合下其值为 1。
逐步解释
问题指出函数 \( F(A, B, C) \) 在以下两个特定输入组合时输出为 1：
- \( (A=1, B=0, C=1) \)
- \( (A=0, B=1, C=1) \)
我们需要推导出 \( F \) 的 SOP 表达式。
步骤 1：识别最小项
- 最小项是一个乘积项，其中每个变量恰好出现一次（原变量或补码形式），对应函数输出为 1 的输入组合。
- 对于 \( (A=1, B=0, C=1) \)：
- \( A = 1 \)，因此使用 \( A \)。
- \( B = 0 \)，因此使用 \( B’ \)（\( B \) 的补码）。
- \( C = 1 \)，因此使用 \( C \)。
- 最小项为：\( A \cdot B’ \cdot C \)。
- 对于 \( (A=0, B=1, C=1) \)：
- \( A = 0 \)，因此使用 \( A’ \)。
- \( B = 1 \)，因此使用 \( B \)。
- \( C = 1 \)，因此使用 \( C \)。
- 最小项为：\( A’ \cdot B \cdot C \)。
步骤 2：构建 SOP 表达式
- 在 SOP 形式中，函数是所有输出为 1 的最小项的逻辑或。
- 由于 \( F = 1 \) 仅出现在上述两个输入组合，SOP 表达式即为这两个最小项的和： \[ F = A \cdot B’ \cdot C + A’ \cdot B \cdot C \]
步骤 3：验证表达式
检查表达式 \( F = A \cdot B’ \cdot C + A’ \cdot B \cdot C \) 是否在给定输入组合下正确输出 1：
- 对于 \( (A=1, B=0, C=1) \)：
- 第一项：\( A \cdot B’ \cdot C = 1 \cdot (0)’ \cdot 1 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \)。
- 第二项：\( A’ \cdot B \cdot C = (1)’ \cdot 0 \cdot 1 = 0 \cdot 0 \cdot 1 = 0 \)。
- \( F = 1 + 0 = 1 \)。（正确）
- 对于 \( (A=0, B=1, C=1) \)：
- 第一项：\( A \cdot B’ \cdot C = 0 \cdot (1)’ \cdot 1 = 0 \cdot 0 \cdot 1 = 0 \)。
- 第二项：\( A’ \cdot B \cdot C = (0)’ \cdot 1 \cdot 1 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \)。
- \( F = 0 + 1 = 1 \)。（正确）
- 对于其他组合（例如 \( A=0, B=0, C=0 \)）：
- 第一项：\( A \cdot B’ \cdot C = 0 \cdot (0)’ \cdot 0 = 0 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \)。
- 第二项：\( A’ \cdot B \cdot C = (0)’ \cdot 0 \cdot 0 = 1 \cdot 0 \cdot 0 = 0 \)。
- \( F = 0 + 0 = 0 \)。（正确，因为函数在此未指定为 1）
该表达式仅在指定输入组合下正确输出 1。
步骤 4：关于 \( F = 2 \) 的误解
您的问题暗示如果函数是 SOP 形式，则 \( F = 2 \)。这似乎源于一个误解。让我们澄清：
- 在布尔代数中，函数的输出只能是 0 或 1。值 \( F = 2 \) 在标准布尔逻辑中是不可能的，因为其操作在二进制域（{0, 1}）中进行。
- 您可能考虑的是最小项的数量或 \( F = 1 \) 的输入组合计数。此处有两个最小项（对应 \( F = 1 \) 的两个输入组合），这可能引出数字 2。然而，这并不意味着 \( F = 2 \)。
- SOP 表达式表示函数的输出，而非数值计数。每个最小项在其对应的输入组合下为输出贡献 1，而 OR 操作将它们组合以产生最终输出（0 或 1）。
例如：
- 如果 \( A=1, B=0, C=1 \)，函数求值为 1（而非 2）。
- 如果某些输入下两个最小项同时为真（但此处并非这种情况），OR 操作仍将输出 1，因为在布尔代数中 \( 1 + 1 = 1 \)（其中 \( + \) 表示逻辑或）。
最终答案
对于在输入组合 \( (A=1, B=0, C=1) \) 和 \( (A=0, B=1, C=1) \) 下输出为 1 的函数 \( F(A, B, C) \)，其 SOP 表达式正确给出为： \[ F = A \cdot B’ \cdot C + A’ \cdot B \cdot C \] \( F \) 的输出始终为 0 或 1，而非 2。数字 2 可能反映了最小项的计数（即 \( F = 1 \) 的输入组合有两个），但这并不意味着函数输出 2。在布尔逻辑中，函数的输出是二进制的，而 SOP 形式仅列出 \( F = 1 \) 的条件。
如果您对“F = 2”有特定含义（例如在计数最小项或非布尔函数的其他上下文中），请提供更多细节，我可以进一步细化解释！