Ejercicio de Ajuste
A continuación, intentemos ajustar la función y(x) = ax + b.
import numpy as np
import math
x = np.linspace(-math.pi, math.pi, 20)
print(x)
[-3.14159265 -2.81089869 -2.48020473 -2.14951076 -1.8188168 -1.48812284
-1.15742887 -0.82673491 -0.49604095 -0.16534698 0.16534698 0.49604095
0.82673491 1.15742887 1.48812284 1.8188168 2.14951076 2.48020473
2.81089869 3.14159265]
Noté que es linspace, no linespace. Esto es parte del código de un ejemplo en un tutorial de PyTorch. Estos números decimales pueden no ser muy intuitivos.
x = np.linspace(0, 100, 20)
import numpy as np
import math
x = np.linspace(0, 100, 20)
y = np.linspace(0, 100, 20)
print(x)
print(y)
Así obtenemos dos conjuntos de datos. ¿Cómo podemos representarlos gráficamente?
Sin embargo, resulta que x e y son iguales.
x = np.random.rand(2)
print(x)
[0.06094295 0.89674607]
Sigue haciendo cambios.
x = np.random.rand(2)*100
print(x)
[39.6136151 66.15534011]
Continúa con las modificaciones.
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.rand(10)*100
y = np.random.rand(10)*100
plt.plot(x, y)
plt.show()
[20.1240488 59.69327146 58.05432614 3.14092909 82.86411091 43.23010476
88.09796699 94.42222486 58.45253048 51.98479507]
[58.7129098 1.6457994 49.34115933 71.13738592 53.09736099 15.4485691
45.12200319 20.46080549 67.48555147 91.10864978]
Se puede observar que va de (20.1,58.7) a (59.7,1.6) y luego a (58,49.3). Aunque el gráfico parece desordenado, sigue teniendo un patrón. Es un trazo continuo.
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.rand(2)*100
y = np.random.rand(2)*100
print(x)
print(y)
plt.plot(x, y)
plt.show()
Notamos que las escalas de x e y siempre están cambiando. Por lo tanto, dos líneas que parecen iguales, en realidad no lo son. Entonces, ¿cómo encontramos los valores de a y b en la ecuación y(x) = ax + b? Supongamos que ahora conocemos dos puntos en esta línea. Observamos que podemos resolverlo usando papel de borrador. Restamos las dos ecuaciones, eliminamos b y encontramos a. Luego, sustituimos a en una de las ecuaciones para encontrar b.
Sin embargo, ¿se podría utilizar un método de adivinanza? Utilizando el método de bisección. Vamos a intentarlo.
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.rand(2)*100
y = np.random.rand(2)*100
a_max = 1000
a_min = -1000
b_max = 1000
b_min = -1000
def cal_d(da, b):
y0 = x[0] * da + b
y1 = x[1] * da + b
d = abs(y0 - y[0]) + abs(y1 - y[1])
return d
def cal_db(a, db):
y0 = x[0] * a + db
y1 = x[1] * a + db
d = abs(y0 - y[0]) + abs(y1 - y[1])
return d
def avg_a():
return (a_max + a_min) / 2
def avg_b():
return (b_max + b_min) / 2
for i in range(100):
a = avg_a()
b = avg_b()
max_d = cal_d(a_max, b)
min_d = cal_d(a_min, b)
if max_d < min_d:
a_min = a
else:
a_max = a
a = avg_a()
max_db = cal_db(a, b_max)
min_db = cal_db(a, b_min)
if max_db < min_db:
b_min = b
else:
b_max = b
print(x)
print(y)
print('a = ', avg_a())
print('b = ', avg_b())
print(avg_a() * x[0] + avg_b())
print(avg_a() * x[1] + avg_b())
Ejecútalo.
[42.78912791 98.69284173]
[68.95535212 80.89946202]
a = 11.71875
b = -953.125
-451.68990725289063
203.4317390671779
Sin embargo, los resultados mostraron una gran discrepancia.
Vamos a simplificar el problema. Supongamos que y(x) = ax. Dado un conjunto de valores x, y, queremos encontrar a. Aunque podríamos calcularlo directamente, vamos a intentar adivinarlo.
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.random import rand, randint
x = randint(100) y = randint(100)
a_max = 1000
a_min = -1000
def cal_d(da):
y0 = x * da
return abs(y0 - y)
def avg_a():
return (a_max + a_min) / 2
for i in range(1000):
a = avg_a()
max_d = cal_d(a_max)
min_d = cal_d(a_min)
if max_d < min_d:
a_min = a
else:
a_max = a
print(x)
print(y)
print(avg_a())
print(avg_a()*x)
El resultado es alentador. Adiviné con bastante precisión.
96
61
0.6354166666666667
61.00000000000001
Sin embargo, normalmente se escribe for i in range(15):, lo que significa iterar 15 veces, lo cual es bastante preciso. ¿Por qué? Observa que nuestros valores de x e y están entre 0 y 100. Por lo tanto, el valor de a también está entre 0 y 100. Por ejemplo, x=1, y=99 y x=99, y=1. Así que los valores iniciales de a_min y a_max se pueden optimizar. Nota que 1/99 es 0.01. Por lo tanto, para alcanzar una precisión de 0.01, necesitamos calcular 2^n ≈ 10000. log2(10000) = 13.28. Esto significa que establecerlo alrededor de 14 debería ser suficiente.