Exercice d'ajustement
Essayons ensuite d’ajuster la fonction y(x) = ax + b.
import numpy as np
import math
x = np.linspace(-math.pi, math.pi, 20)
print(x)
[-3.14159265 -2.81089869 -2.48020473 -2.14951076 -1.8188168 -1.48812284
-1.15742887 -0.82673491 -0.49604095 -0.16534698 0.16534698 0.49604095
0.82673491 1.15742887 1.48812284 1.8188168 2.14951076 2.48020473
2.81089869 3.14159265]
Remarquez que c’est linspace, et non linespace. Cela fait partie d’un exemple de code dans un tutoriel PyTorch. Ces décimales peuvent ne pas être très intuitives.
x = np.linspace(0, 100, 20)
import numpy as np
import math
x = np.linspace(0, 100, 20)
y = np.linspace(0, 100, 20)
print(x)
print(y)
Ainsi, nous obtenons deux ensembles de données. Comment les représenter graphiquement ?
Cependant, il s’avère que x et y sont identiques.
x = np.random.rand(2)
print(x)
[0.06094295 0.89674607]
Je continue à apporter des modifications.
x = np.random.rand(2)*100
print(x)
[39.6136151 66.15534011]
Continuer à modifier.
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.rand(10) * 100
y = np.random.rand(10) * 100
plt.plot(x, y)
plt.show()
[20.1240488 59.69327146 58.05432614 3.14092909 82.86411091 43.23010476
88.09796699 94.42222486 58.45253048 51.98479507]
[58.7129098 1.6457994 49.34115933 71.13738592 53.09736099 15.4485691
45.12200319 20.46080549 67.48555147 91.10864978]
On peut voir que c’est de (20.1,58.7) à (59.7,1.6) puis à (58,49.3). Notez que bien que ce graphique semble désordonné, il suit toujours une certaine logique. Il s’agit d’un tracé en un seul trait.
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.rand(2)*100
y = np.random.rand(2)*100
print(x)
print(y)
plt.plot(x, y)
plt.show()
Remarquez que les échelles de x et y changent constamment. Ainsi, deux lignes qui semblent identiques peuvent en réalité être différentes. Alors, comment déterminer les valeurs de a et b dans l’équation y(x) = ax + b ? Supposons que nous connaissons maintenant deux points sur cette ligne droite. Notez que nous pouvons résoudre cela sur une feuille de brouillon. En soustrayant les deux équations, nous éliminons b et trouvons a. Ensuite, en substituant a dans une des équations, nous trouvons b.
Cependant, est-il possible d’utiliser une méthode de devinette ? Utilisons la méthode de dichotomie. Essayons.
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.rand(2)*100
y = np.random.rand(2)*100
a_max = 1000
a_min = -1000
b_max = 1000
b_min = -1000
def cal_d(da, b):
y0 = x[0] * da + b
y1 = x[1] * da + b
d = abs(y0 - x[0]) + abs(y1 - x[1])
return d
def cal_db(a, db):
y0 = x[0] * a + db
y1 = x[1] * a + db
d = abs(y0 - y[0]) + abs(y1 - y[1])
return d
def avg_a():
return (a_max + a_min) / 2
def avg_b():
return (b_max + b_min) / 2
for i in range(100):
a = avg_a()
b = avg_b()
max_d = cal_d(a_max, b)
min_d = cal_d(a_min, b)
if max_d < min_d:
a_min = a
else:
a_max = a
a = avg_a()
max_db = cal_db(a, b_max)
min_db = cal_db(a, b_min)
if max_db < min_db:
b_min = b
else:
b_max = b
print(x)
print(y)
print('a = ', avg_a())
print('b = ', avg_b())
print(avg_a() * x[0] + avg_b())
print(avg_a() * x[1] + avg_b())
Exécutez-le.
[42.78912791 98.69284173]
[68.95535212 80.89946202]
a = 11.71875
b = -953.125
-451.68990725289063
203.4317390671779
Cependant, les résultats ont montré une grande divergence.
Simplifions le problème. Supposons que y(x) = ax. On nous donne un ensemble de valeurs x, y, et nous devons trouver a. Bien que nous puissions le calculer directement, essayons de deviner.
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.random import rand, randint
x = randint(100) y = randint(100)
a_max = 1000
a_min = -1000
def cal_d(da):
y0 = x * da
return abs(y0 - y)
def avg_a():
return (a_max + a_min) / 2
for i in range(1000):
a = avg_a()
max_d = cal_d(a_max)
min_d = cal_d(a_min)
if max_d < min_d:
a_min = a
else:
a_max = a
print(x)
print(y)
print(avg_a())
print(avg_a()*x)
Le résultat est encourageant. La prédiction était assez précise.
96
61
0.6354166666666667
61.00000000000001
Cependant, il est plus courant d’écrire for i in range(15):, ce qui permet d’itérer 15 fois avec une précision suffisante. Pourquoi ? Remarquez que nos variables x et y sont toutes deux comprises entre 0 et 100. Par conséquent, la valeur de a est également comprise entre 0 et 100. Par exemple, x=1, y=99 et x=99, y=1. Ainsi, les valeurs initiales de a_min et a_max peuvent être optimisées. Notez que 1/99 est égal à 0.01. Donc, pour atteindre une précision de l’ordre de 0.01, il faut approximativement calculer 2^n ≈ 10000. En utilisant log2(10000) = 13.28, cela signifie qu’une valeur d’environ 14 est suffisante.