擬合練習
接下來試著擬合一下y(x)=ax+b。
import numpy as np
import math
x = np.linspace(-math.pi, math.pi, 20)
print(x)
[-3.14159265 -2.81089869 -2.48020473 -2.14951076 -1.8188168 -1.48812284
-1.15742887 -0.82673491 -0.49604095 -0.16534698 0.16534698 0.49604095
0.82673491 1.15742887 1.48812284 1.8188168 2.14951076 2.48020473
2.81089869 3.14159265]
注意到是linspace，而不是linespace。這是在PyTorch教程的一個例子的部分代碼。這些小數可能不是很直觀。
x = np.linspace(0, 100, 20)
import numpy as np
import math
x = np.linspace(0, 100, 20)
y = np.linspace(0, 100,20)
print(x)
print(y)
這樣得到兩組數據。如何用圖像表示出來呢。
然而竟然x和y是一樣的。
x = np.random.rand(2)
print(x)
[0.06094295 0.89674607]
接著改改。
x = np.random.rand(2)*100
print(x)
[39.6136151 66.15534011]
繼續改。
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.rand(10)*100
y = np.random.rand(10)*100
plt.plot(x,y)
plt.show()
[20.1240488 59.69327146 58.05432614 3.14092909 82.86411091 43.23010476
88.09796699 94.42222486 58.45253048 51.98479507]
[58.7129098 1.6457994 49.34115933 71.13738592 53.09736099 15.4485691
45.12200319 20.46080549 67.48555147 91.10864978]
可見是(20.1,58.7)到(59.7,1.6)再到(58,49.3)。注意到雖然這個圖看起來很亂，但仍然是有規律的。它是一筆畫。
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.rand(2)*100
y = np.random.rand(2)*100
print(x)
print(y)
plt.plot(x,y)
plt.show()
注意到x和y的尺度總在變。所以兩條看似一樣的直線，其實不一樣。那如何求y(x) = ax+b的a和b。我們說現在知道這條直線的兩個點。注意到我們用草稿紙解出來就行。兩個等式相減，消掉b，求出a。接著代入a到一個等式，求出b。
然而可不可以用猜測的方法。用二分法。試試看。
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.rand(2)*100
y = np.random.rand(2)*100
a_max=1000
a_min=-1000
b_max=1000
b_min=-1000
def cal_d(da, b):
y0 = x[0] * da + b
y1 = x[1] * da + b
d = abs(y0-y[0]) + abs(y1-y[1])
return d
def cal_db(a, db):
y0 = x[0] * a + db
y1 = x[1] * a + db
d = abs(y0-y[0]) + abs(y1-y[1])
return d
def avg_a():
return (a_max + a_min) / 2
def avg_b():
return (b_max + b_min) / 2
for i in range(100):
a = avg_a()
b = avg_b()
max_d = cal_d(a_max, b)
min_d = cal_d(a_min, b)
if max_d < min_d:
a_min = a
else:
a_max = a
a = avg_a()
max_db = cal_db(a, b_max)
min_db = cal_db(a, b_min)
if max_db < min_db:
b_min = b
else:
b_max = b
print(x)
print(y)
print('a = ', avg_a())
print('b = ', avg_b())
print(avg_a() * x[0] + avg_b())
print(avg_a() * x[1] + avg_b())
運行一下。
[42.78912791 98.69284173]
[68.95535212 80.89946202]
a = 11.71875
b = -953.125
-451.68990725289063
203.4317390671779
結果卻有很大的出入。
讓我們把問題簡單化。假設y(x)=ax。給出一組x,y，求a。雖然我們可以直接算出來。讓我們猜。
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.random import rand, randint
x = randint(100)
y = randint(100)
a_max=1000
a_min=-1000
def cal_d(da):
y0 = x * da
return abs(y0-y)
def avg_a():
return (a_max + a_min) / 2
for i in range(1000):
a = avg_a()
max_d = cal_d(a_max)
min_d = cal_d(a_min)
if max_d < min_d:
a_min = a
else:
a_max = a
print(x)
print(y)
print(avg_a())
print(avg_a()*x)
結果是喜人的。猜得很準。
96
61
0.6354166666666667
61.00000000000001
然而通常這樣寫for i in range(15):，迭代15次就比較準確了。為什麼。注意到我們的x和y都在0到100以內。那麼a值也在0到100以內。x=1,y=99 和x=99,y=1。所以a_min和a_max的初始值可以優化一下。注意到1/99是0.01。所以也許到0.01的準確度，大概就是算2^n 約等於 10000。log2(10000)=13.28。意味著設為14左右，就差不多了。