फिटिंग अभ्यास
अगले चरण में y(x) = ax + b को फिट करने का प्रयास करते हैं।
import numpy as np
import math
x = np.linspace(-math.pi, math.pi, 20)
print(x)
[-3.14159265 -2.81089869 -2.48020473 -2.14951076 -1.8188168 -1.48812284
-1.15742887 -0.82673491 -0.49604095 -0.16534698 0.16534698 0.49604095
0.82673491 1.15742887 1.48812284 1.8188168 2.14951076 2.48020473
2.81089869 3.14159265]
ध्यान दें कि यह linspace है, linespace नहीं। यह PyTorch ट्यूटोरियल के एक उदाहरण का हिस्सा है। ये दशमलव संख्याएँ शायद बहुत स्पष्ट नहीं हैं।
x = np.linspace(0, 100, 20)
import numpy as np
import math
x = np.linspace(0, 100, 20)
y = np.linspace(0, 100, 20)
print(x)
print(y)
इस तरह से हमें दो सेट डेटा मिलता है। इसे ग्राफ़िकल रूप में कैसे प्रदर्शित किया जाए?
हालांकि, आश्चर्यजनक रूप से x और y एक जैसे हैं।
x = np.random.rand(2)
print(x)
[0.06094295 0.89674607]
फिर इसे संशोधित करें।
x = np.random.rand(2)*100
print(x)
(यह कोड ब्लॉक को हिंदी में ट्रांसलेट नहीं किया गया है क्योंकि यह प्रोग्रामिंग कोड है और इसे बदलने की आवश्यकता नहीं है।)
[39.6136151 66.15534011]
जारी रखें और सुधार करें।
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.rand(10)100 y = np.random.rand(10)100
plt.plot(x,y)
plt.show()
[20.1240488 59.69327146 58.05432614 3.14092909 82.86411091 43.23010476
88.09796699 94.42222486 58.45253048 51.98479507]
[58.7129098 1.6457994 49.34115933 71.13738592 53.09736099 15.4485691
45.12200319 20.46080549 67.48555147 91.10864978]
देखा जा सकता है कि यह (20.1,58.7) से (59.7,1.6) और फिर (58,49.3) तक जाता है। ध्यान दें कि हालांकि यह ग्राफ बहुत अव्यवस्थित दिखता है, फिर भी इसमें एक पैटर्न है। यह एक ही स्ट्रोक में बनाया गया है।
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.rand(2)100 y = np.random.rand(2)100
print(x)
print(y)
plt.plot(x,y)
plt.show()
ध्यान दें कि x और y के स्केल हमेशा बदलते रहते हैं। इसलिए, दो सीधी रेखाएं जो एक जैसी दिखती हैं, वास्तव में अलग हो सकती हैं। तो हम y(x) = ax + b में a और b कैसे निकालें? मान लें कि हमें इस रेखा के दो बिंदु पता हैं। ध्यान दें कि हम इसे ड्राफ्ट पेपर पर हल कर सकते हैं। दो समीकरणों को घटाकर b को हटा दें और a निकालें। फिर a को एक समीकरण में प्रतिस्थापित करके b निकालें।
हालांकि, क्या अनुमान लगाने की विधि का उपयोग किया जा सकता है? द्विआधारी खोज (बाइनरी सर्च) का उपयोग करके देखें। कोशिश करके देखें।
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.rand(2)*100
y = np.random.rand(2)*100
a_max = 1000
a_min = -1000
b_max = 1000
b_min = -1000
def cal_d(da, b):
y0 = x[0] * da + b
y1 = x[1] * da + b
d = abs(y0 - y[0]) + abs(y1 - y[1])
return d
def cal_db(a, db):
y0 = x[0] * a + db
y1 = x[1] * a + db
d = abs(y0 - y[0]) + abs(y1 - y[1])
return d
यह फ़ंक्शन cal_db दो पैरामीटर a और db लेता है और एक मान d लौटाता है। यह फ़ंक्शन x नामक एक सूची के पहले दो तत्वों का उपयोग करके y0 और y1 की गणना करता है। फिर यह y0 और y[0] के बीच तथा y1 और y[1] के बीच के अंतर का निरपेक्ष मान लेकर उन्हें जोड़ता है और परिणाम d के रूप में लौटाता है।
def avg_a():
return (a_max + a_min) / 2
def avg_b():
return (b_max + b_min) / 2
for i in range(100):
a = avg_a()
b = avg_b()
max_d = cal_d(a_max, b)
min_d = cal_d(a_min, b)
if max_d < min_d:
a_min = a
else:
a_max = a
a = avg_a()
max_db = cal_db(a, b_max)
min_db = cal_db(a, b_min)
if max_db < min_db:
b_min = b
else:
b_max = b
print(x)
print(y)
print('a = ', avg_a())
print('b = ', avg_b())
print(avg_a() * x[0] + avg_b())
print(avg_a() * x[1] + avg_b())
चलाएं।
[42.78912791 98.69284173]
[68.95535212 80.89946202]
a = 11.71875
b = -953.125
-451.68990725289063
203.4317390671779
परिणाम में काफी अंतर होता है।
आइए समस्या को सरल बनाएं। मान लीजिए कि y(x) = ax है। हमें x और y के एक सेट दिए गए हैं, और हमें a का मान ज्ञात करना है। हालांकि हम इसे सीधे गणना कर सकते हैं, लेकिन आइए इसे अनुमान लगाकर करने का प्रयास करें।
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.random import rand, randint
x = randint(100) y = randint(100)
a_max = 1000
a_min = -1000
def cal_d(da):
y0 = x * da
return abs(y0 - y)
def avg_a():
return (a_max + a_min) / 2
for i in range(1000):
a = avg_a()
max_d = cal_d(a_max)
min_d = cal_d(a_min)
if max_d < min_d:
a_min = a
else:
a_max = a
print(x)
print(y)
print(avg_a())
print(avg_a()*x)
परिणाम प्रसन्नताप्रद है। अनुमान बहुत सटीक था।
96
61
0.6354166666666667
61.00000000000001
(नोट: कोड ब्लॉक में संख्याएं और गणितीय मान हैं, इसलिए उन्हें अनुवादित नहीं किया गया है।)
हालांकि, आमतौर पर इसे इस तरह लिखा जाता है for i in range(15):, जो 15 बार पुनरावृत्ति करता है और यह काफी सटीक होता है। क्यों? ध्यान दें कि हमारे x और y दोनों 0 से 100 के बीच हैं। इसलिए a का मान भी 0 से 100 के बीच होगा। उदाहरण के लिए, x=1, y=99 और x=99, y=1। इसलिए a_min और a_max के प्रारंभिक मानों को थोड़ा ऑप्टिमाइज़ किया जा सकता है। ध्यान दें कि 1/99 लगभग 0.01 है। इसलिए शायद 0.01 की सटीकता तक पहुंचने के लिए, हमें लगभग 2^n ≈ 10000 की गणना करनी होगी। log2(10000) = 13.28। इसका मतलब है कि इसे लगभग 14 पर सेट करना पर्याप्त होगा।