子空间 | AI生成和翻译

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要判断给定集合中哪些是 $\mathbb{R}^2$ 的子空间，我们需要验证它们是否满足子空间的三个条件：

  1. 零向量属于该子空间。
  2. 子空间对向量加法封闭。 如果 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 属于该子空间，那么 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ 也属于该子空间。
  3. 子空间对标量乘法封闭。 如果 $\mathbf{u}$ 属于该子空间且 $c$ 是任意标量，那么 $c\mathbf{u}$ 也属于该子空间。

让我们逐一检查每个选项：

a) 直线 y = x + 1

  1. 零向量： $\mathbb{R}^2$ 中的零向量是 $\begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}$。要使该向量位于此直线上，必须满足方程 $y = x + 1$。代入 $x=0$ 和 $y=0$，得到 $0 = 0 + 1$，即 $0 = 1$。这是错误的，因此零向量不在直线 $y = x + 1$ 上。

由于第一个条件不满足，直线 $y = x + 1$ 不是 $\mathbb{R}^2$ 的子空间。

b) 直线 y = 2x

  1. 零向量： 要使零向量 $\begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}$ 位于此直线上，必须满足方程 $y = 2x$。代入 $x=0$ 和 $y=0$，得到 $0 = 2(0)$，即 $0 = 0$。这是正确的，因此零向量在直线 $y = 2x$ 上。

  2. 对向量加法封闭： 设 $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} x_1 \ y_1 \end{pmatrix}$ 和 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x_2 \ y_2 \end{pmatrix}$ 是直线 $y = 2x$ 上的两个向量。这意味着 $y_1 = 2x_1$ 和 $y_2 = 2x_2$。 它们的和是 $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \ y_1 + y_2 \end{pmatrix}$。我们需要检查该向量是否位于直线 $y = 2x$ 上。代入分量，得到 $y_1 + y_2 = 2(x_1 + x_2)$。由于 $y_1 = 2x_1$ 和 $y_2 = 2x_2$，我们有 $2x_1 + 2x_2 = 2x_1 + 2x_2$，这是正确的。因此，该直线对向量加法封闭。

  3. 对标量乘法封闭： 设 $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}$ 是直线 $y = 2x$ 上的一个向量，因此 $y = 2x$。设 $c$ 是任意标量。那么 $c\mathbf{u} = \begin{pmatrix} cx \ cy \end{pmatrix}$。我们需要检查该向量是否位于直线 $y = 2x$ 上。代入分量，得到 $cy = 2(cx)$。由于 $y = 2x$，我们有 $c(2x) = 2(cx)$，即 $2cx = 2cx$。这是正确的，因此该直线对标量乘法封闭。

由于所有三个条件都满足，直线 $y = 2x$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的子空间。

c) 单位圆

$\mathbb{R}^2$ 中的单位圆由方程 $x^2 + y^2 = 1$ 定义。

  1. 零向量： 零向量是 $\begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}$。代入方程，得到 $0^2 + 0^2 = 1$，即 $0 = 1$。这是错误的，因此零向量不在单位圆上。

由于第一个条件不满足，单位圆不是 $\mathbb{R}^2$ 的子空间。

最终答案：最终答案是 $\boxed{直线 y = 2x}$

“零向量属于该子空间”这一要求是向量空间的子集要成为子空间必须满足的三个基本条件之一。让我们深入探讨为什么这个条件是必要的。

子空间的概念旨在识别更大向量空间内自身行为也像向量空间的较小集合。要表现得像向量空间，这些较小集合必须继承某些基本性质。任何向量空间最基本的一个性质是零向量（通常记为 $\mathbf{0}$）的存在。这个向量具有关键性质：当它与空间中的任何其他向量相加时，该向量保持不变：对于空间中的所有向量 $\mathbf{v}$，有 $\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$。

以下是零向量必须属于子空间的原因：

  1. 继承向量空间结构： 子空间旨在成为更大向量空间内的一个”微型向量空间”。如果一个子集不包含零向量，它就缺少了满足向量空间公理所必需的关键元素。没有零向量，加法逆元（另一个重要公理）的概念就会出现问题。

  2. 对标量乘法的封闭性： 考虑向量空间 $V$ 的一个非空子集 $W$，该子集对标量乘法封闭。如果 $\mathbf{w}$ 是 $W$ 中的任意向量，且 $W$ 是一个子空间，那么对于任意标量 $c$，向量 $c\mathbf{w}$ 也必须属于 $W$。如果我们选择标量 $c = 0$，那么 $0\mathbf{w} = \mathbf{0}$（这是向量空间的一个性质）。因此，如果一个子空间对标量乘法封闭并且至少包含一个向量，它必须包含零向量。

  3. 确保加法逆元的存在： 虽然仅零向量的存在并不能保证子空间内存在加法逆元，但它的缺失会造成根本性问题。如果向量 $\mathbf{v}$ 在子空间中，并且子空间对标量乘法封闭，那么 $(-1)\mathbf{v} = -\mathbf{v}$ 也必须属于子空间（这是 $\mathbf{v}$ 的加法逆元）。为了使 $\mathbf{v}$ 和 $-\mathbf{v}$ 相加的结果是一个在子空间内的向量，该结果向量必须是零向量。如果零向量不在子集中，那么即使加法逆元存在于更大的向量空间中，对加法的封闭性也可能被违反。

简而言之，如果一个子集甚至不包含向量加法的”单位元”（即零向量），它就无法真正作为一个在向量加法和标量乘法（这是向量空间的定义运算）下自洽的系统来运作。

因此，零向量必须属于子空间这一条件并非随意设定；它是子空间必须继承其所在更大向量空间的基本代数结构这一要求的直接结果。

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