方程组与高斯消元法 | AI生成和翻译
本教程详细讲解方程组的表示方法、解法以及用于求解的高斯消元法。
1. 方程组：定义与表示
线性方程组由多个共享变量的线性方程组成。包含 \( n \) 个变量和 \( m \) 个方程的一般方程组可表示为：
\[
\begin{aligned}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n &= b_1
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n &= b_2
\vdots &
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n &= b_m
\end{aligned}
\]
其中：
- \( x_1, x_2, \dots, x_n \) 是未知变量
- \( a_{ij} \) 是系数
- \( b_1, b_2, \dots, b_m \) 是右侧常数项
矩阵表示
方程组可用矩阵形式表示：
\[ A \mathbf{x} = \mathbf{b} \]
其中：
-
\( A \) 是系数矩阵：
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \] -
\( \mathbf{x} \) 是变量列向量：
\[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1
x_2
\vdots
x_n \end{bmatrix} \] -
\( \mathbf{b} \) 是常数项列向量：
\[ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1
b_2
\vdots
b_m \end{bmatrix} \]
增广矩阵表示为：
\[ [A | \mathbf{b}] \]
示例：
\[
\begin{aligned}
2x + 3y &= 8
5x - y &= 3
\end{aligned}
\]
矩阵表示：
\[
\begin{bmatrix}
2 & 3
5 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x
y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
8
3
\end{bmatrix}
\]
增广矩阵：
\[
\left[
\begin{array}{cc|c}
2 & 3 & 8
5 & -1 & 3
\end{array}
\right]
\]
2. 高斯消元法
高斯消元法是通过将增广矩阵转化为行阶梯形式（REF），再通过回代法求解变量的系统方法。
高斯消元步骤
- 通过行变换将增广矩阵转换为上三角矩阵（行阶梯形式）：
- 必要时交换行
- 某行乘以非零常数
- 将某行的倍数加到另一行
- 通过回代法求解
示例1：使用高斯消元法求解方程组
求解方程组：
\[
\begin{aligned}
2x + y - z &= 3
4x - 6y &= 2
-2x + 7y + 2z &= 5
\end{aligned}
\]
步骤1：转换为增广矩阵
\[
\left[
\begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & -1 & 3
4 & -6 & 0 & 2
-2 & 7 & 2 & 5
\end{array}
\right]
\]
步骤2：使首元为1
第一行除以2：
\[
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0.5 & -0.5 & 1.5
4 & -6 & 0 & 2
-2 & 7 & 2 & 5
\end{array}
\right]
\]
步骤3：消去首元下方元素
第二行减去4倍的第一行：
第三行加上2倍的第一行：
\[
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0.5 & -0.5 & 1.5
0 & -8 & 2 & -4
0 & 8 & 1 & 8
\end{array}
\right]
\]
步骤4：使次元为1
第二行除以-8：
\[
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0.5 & -0.5 & 1.5
0 & 1 & -0.25 & 0.5
0 & 8 & 1 & 8
\end{array}
\right]
\]
步骤5：消去次元下方元素
第三行减去8倍的第二行：
\[
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0.5 & -0.5 & 1.5
0 & 1 & -0.25 & 0.5
0 & 0 & 3 & 4
\end{array}
\right]
\]
步骤6：回代求解
从下往上求解：
- \( 3z = 4 \Rightarrow z = \frac{4}{3} \)
- \( y - 0.25z = 0.5 \Rightarrow y = 0.5 + 0.25(4/3) = \frac{7}{6} \)
- \( x + 0.5y - 0.5z = 1.5 \Rightarrow x = 1.5 - 0.5(7/6) + 0.5(4/3) = \frac{11}{6} \)
解： \[ x = \frac{11}{6}, \quad y = \frac{7}{6}, \quad z = \frac{4}{3} \]
3. 解的类型
- 唯一解：\( x_1, x_2, \dots \) 有唯一解
- 无穷多解：系统相关，存在多个解
- 无解：系统不一致
4. 齐次与非齐次方程组
- 齐次方程组：\( A\mathbf{x} = 0 \)
- 至少存在零解 \( \mathbf{x} = 0 \)
- 当 \( A \) 的行列式为零时可能有无穷多解
- 非齐次方程组：\( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)
- 可能有唯一解、无穷多解或无解
结论
- 高斯消元法是求解方程组的有效方法
- 解的数量取决于矩阵的秩
- 齐次方程组总是存在零解
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