线性代数中的向量空间教程 | AI生成和翻译
本教程涵盖与向量空间相关的核心概念，包括子空间、基、维数和线性无关性。这些主题是线性代数的基础，对理解更高级的概念至关重要。
1. 向量空间
向量空间（或称线性空间）是一个在向量加法和标量乘法下满足特定性质的向量集合。
定义
域 \( \mathbb{F} \)（如实数域 \( \mathbb{R} \) 或复数域 \( \mathbb{C} \)）上的向量空间 \( V \) 由元素（向量）集合及两种运算构成：
- 向量加法： \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \)（其中 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \)）
- 标量乘法： \( c \mathbf{v} \)（其中 \( c \in \mathbb{F} \), \( \mathbf{v} \in V \)）
这些运算必须满足以下公理：
- 加法结合律： \( (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \)
- 加法交换律： \( \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} \)
- 零向量存在性： 存在向量 \( \mathbf{0} \) 使得对所有 \( \mathbf{v} \) 满足 \( \mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v} \)
- 加法逆元存在性： 对任意 \( \mathbf{v} \)，存在 \( -\mathbf{v} \) 满足 \( \mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0} \)
- 标量乘法对向量加法的分配律： \( c(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c\mathbf{u} + c\mathbf{v} \)
- 标量乘法对域加法的分配律： \( (a + b) \mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v} \)
- 标量乘法结合律： \( a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v} \)
- 乘法单位元： \( 1 \mathbf{v} = \mathbf{v} \)
向量空间示例
- \( \mathbb{R}^n \)（n维欧几里得空间）
- 次数 \( \leq n \) 的多项式集合
- \( m \times n \) 矩阵集合
- 连续函数集合
2. 子空间
子空间是向量空间 \( V \) 的一个子集 \( W \)，其在相同运算下自身也构成向量空间。
子空间判定条件
当且仅当满足以下条件时，\( V \) 的非空子集 \( W \) 构成子空间：
- 加法封闭性： 若 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in W \)，则 \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W \)
- 标量乘法封闭性： 若 \( \mathbf{v} \in W \) 且 \( c \in \mathbb{F} \)，则 \( c\mathbf{v} \in W \)
子空间示例
- \( \mathbb{R}^3 \) 中所有形如 \( (x, 0, 0) \) 的向量集合
- 仅含偶次项的多项式集合
- 齐次线性方程的解集合
3. 线性无关性
若存在不全为零的标量 \( c_1, c_2, \dots, c_k \) 使得： \[ c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \dots + c_k \mathbf{v}_k = 0 \] 则称向量空间 \( V \) 中的向量集 \( { \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k } \) 线性相关。
若该方程仅有零解 \( c_1 = c_2 = \dots = c_k = 0 \)，则称向量线性无关。
示例
- \( \mathbb{R}^2 \) 中的向量 \( (1,0) \) 和 \( (0,1) \) 线性无关
- \( \mathbb{R}^2 \) 中的向量 \( (1,1) \) 和 \( (2,2) \) 线性相关，因为 \( 2(1,1) - (2,2) = (0,0) \)
4. 向量空间的基
向量空间 \( V \) 的基是指能张成 \( V \) 的线性无关向量集，即满足：
- 基向量线性无关
- \( V \) 中任意向量均可表示为基向量的线性组合
示例
- \( \mathbb{R}^2 \) 的标准基为 \( { (1,0), (0,1) } \)
- \( \mathbb{R}^3 \) 的标准基为 \( { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) } \)
5. 向量空间的维数
向量空间 \( V \) 的维数（记为 \( \dim(V) \)）是指其任意基所含向量的数量。
示例
- \( \dim(\mathbb{R}^n) = n \)
- 次数 \( \leq 2 \) 的多项式空间维数为3，其基为 \( {1, x, x^2} \)
- 含5个未知数的3个齐次方程组的解空间维数为2
核心概念总结
| 概念 | 定义 |
|---|---|
| 向量空间 | 对加法和标量乘法封闭的向量集合 |
| 子空间 | 本身也构成向量空间的向量空间子集 |
| 线性无关性 | 向量集中任意向量都不能表示为其余向量的线性组合 |
| 基 | 张成向量空间的极小子集 |
| 维数 | 空间基所含向量的数量 |
练习题
- 判断 \( \mathbb{R}^3 \) 中的向量集 \( {(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)} \) 是否线性无关
- 求由 \( {(1,2,3), (2,4,6)} \) 张成的 \( \mathbb{R}^3 \) 子空间的基
- 求下列方程组解空间的维数： \[ x + y + z = 0 \] \[ 2x + 3y + 5z = 0 \]
- 验证 \( {1, x, x^2, x^3} \) 是否构成次数 \( \leq 3 \) 的多项式空间的基
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